【題目】如圖1,AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線,點(diǎn)D是垂足,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),規(guī)定:λA= .特別地,當(dāng)點(diǎn)D、E重合時(shí),規(guī)定:λA=0.另外,對(duì)λB、λC作類似的規(guī)定.

(1)如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,求λA、λC
(2)在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1的4×4的方格紙上,畫一個(gè)△ABC,使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)(格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,且λA=2,面積也為2;
(3)判斷下列三個(gè)命題的真假(真命題打“√”,假命題打“×”):
①若△ABC中λA<1,則△ABC為銳角三角形;
②若△ABC中λA=1,則△ABC為直角三角形;
③若△ABC中λA>1,則△ABC為鈍角三角形.

【答案】
(1)

解:如圖,

作BC邊上的中線AD,又AC⊥DC,

∴λA= =1,

過(guò)點(diǎn)C分別作AB邊上的高CE和中線CF,

∵∠ACB=90°,

∴AF=CF,

∴∠ACF=∠CAF=30°,

∴∠CFE=60°,

∴λC= =cos60°=


(2)

解:如圖:


(3)解:×;√;√
【解析】解: (3)①在第(1)題中,λC= ,而△ABC是直角三角形,故命題錯(cuò)誤;②λA=1時(shí),過(guò)頂點(diǎn)A的高線的垂足與三角形的頂點(diǎn)一定重合,故三角新一定是直角三角形,故命題正確;③λA>1時(shí),過(guò)頂點(diǎn)A的高線的垂足與三角形的頂點(diǎn)一定在邊的延長(zhǎng)線上,則三角形一定是鈍角三角形,故命題正確.
所以答案是:①×,②√,③√.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形的“三線”和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形內(nèi)切圓的圓心,稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部,是三角形的幾何中心,稱為中心);3、三角形的高線是頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離;注意:三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi);解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)請(qǐng)直接寫出A的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒時(shí),用含t的代數(shù)式表示ACD的面積S,并寫出t的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)四邊形DAEO的面積等于6S時(shí),求AGF的面積.

 

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1)求證:ABD≌△ACE;

2)求證:CE平分∠ACF;

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(1)此次共調(diào)查了   名學(xué)生;

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(1)當(dāng)點(diǎn)O′恰好是OA的中點(diǎn)時(shí),數(shù)軸上點(diǎn)A′表示的數(shù)為

(2)設(shè)點(diǎn)A的移動(dòng)距離AA′=x.

①當(dāng)O′A=1時(shí),求x的值;

②D為線段AA′的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段OO′上,且OE=OO′,當(dāng)點(diǎn)D,E所表示的數(shù)互為相反數(shù)時(shí),求x的值.

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