【題目】(問題探究)小敏在學(xué)習(xí)了Rt△ABC的性質(zhì)定理后,繼續(xù)進(jìn)行研究.
(1)(i)她發(fā)現(xiàn)圖①中,如果∠A=30°,BC與AB存在特殊的數(shù)量關(guān)系是 ;
(ii)她將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC,如圖②,此時她證明了BC和AB的關(guān)系;請根據(jù)小敏證明的思路,補(bǔ)全探究的證明過程;
猜想:如果∠A=30°,BC與AB存在特殊的數(shù)量關(guān)系是 ;
證明:△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC,
(2)如圖③,點(diǎn)E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上,且∠B=∠D=90°,連接AE、AF、EF,將△ABE、△ADF折疊,折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形,連接AC,若∠EAF=30°,AB2=27,則△CEF的周長為 .
【答案】(1)(i)BC=AB;(ii)BC=AB;(2)6
【解析】
(1)(i)在AB上截取BD=BC,可證△BCD是等邊三角形,CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,可得BD=AD=CD=BC,可得結(jié)論;
(ii)由折疊的性質(zhì)可得AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,可證△ABH是等邊三角形,可得AB=BH=2BC;
(2)由折疊的性質(zhì)可得AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△ADC,可得∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,由直角三角形的性質(zhì)可求BC=3,即可求解.
解:(1)(i)BC=AB,
理由如下:在AB上截取BD=BC,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°,且BD=BC,
∴△BCD是等邊三角形,
∴CD=BD,∠BDC=∠BCD=60°,
∴∠ACD=30°=∠A,
∴AD=CD,
∴BD=AD=BC,
∴BC=AB;
(ii)∵將△ABC沿AC所在的直線翻折得△AHC,
∴△ABC≌△AHC,
∴AB=AH,∠BAC=∠HAC=30°,BC=CH,
∴∠BAH=60°,且AB=AH,
∴△ABH是等邊三角形,
∴AB=BH,
∴BC=BH=AB;
(2)∵將△ABE、△ADF折疊,折疊后的圖形恰好能拼成與△AEF完全重合的三角形,
∴AB=AD,BE+DF=EF,∠BAD=2∠EAF=60°,
∵AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴∠BAC=∠DAC=30°,BC=CD,
∵AB2=27,
∴AB=3,
∵tan∠BAC=,
∴BC=3=CD,
∴△CEF的周長=EC+CF+EF=EC+CF+BE+DF=BC+CD=6.
故答案為:6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處,點(diǎn)在軸上,再將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)在軸上,依次進(jìn)行下去….若點(diǎn),,則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小澤和小帥兩同學(xué)分別從甲地出發(fā),騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實(shí)踐活動.如圖折線OAB和線段CD分別表示小澤和小帥離甲地的距離y(單位:千米)與時間x(單位:小時)之間函數(shù)關(guān)系的圖象.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)小帥的騎車速度為 千米/小時;點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)求線段AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)小帥到達(dá)乙地時,小澤距乙地還有多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,DE分別是邊AB、AC上的點(diǎn),且AD=CE,則∠ADC+∠BEA=( 。
A.180°B.170°C.160°D.150°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在8×8的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,已知△ABC的三個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A1B1C1;
(2)在直線l上找一點(diǎn)P,使PA+PB的長最短;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)△ABC 直角三角形(填“是”或“不是”),并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E為CD的中點(diǎn),連接AE、BE,BE⊥AE,延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.
求證:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】操作發(fā)現(xiàn):如圖1,D是等邊△ABC邊BA上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,易證AF=BD(不需要證明);
類比猜想:①如圖2,當(dāng)動點(diǎn)D運(yùn)動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖1相同,猜想AF與BD在圖1中的結(jié)論是否仍然成立。
深入探究:②如圖3,當(dāng)動點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′你能發(fā)現(xiàn)AF,BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系,并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
③如圖4,當(dāng)動點(diǎn)D運(yùn)動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖3相同,猜想AF,BF′與AB在上題②中的結(jié)論是否仍然成立,若不成立,請給出你的結(jié)論并證明。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點(diǎn)D,連接BD使得△ABD與△ABC相似(不包括全等),并求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB = 30°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn),且OP = 7,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn),則△PEF周長的最小值是______.
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