Question

如圖1，AC⊥CG，AC=2

3

，B是CG上一動點，將△ABC沿直線AB翻折到△ABD．過D作直線DE⊥CG，垂足為E．
（1）若BC=2，則∠ABD=

 

．
（2）在（1）的條件下，求證：DE是以AB為直徑的圓O的切線；
（3）點B由（1）的位置向點C運動，如圖2直線DE與以AB為直徑的圓O交于D、F兩點，當∠DAF=∠CAB時，求∠CAB的大小和BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,圓心角、弧、弦的關系,圓周角定理

專題：

分析：（1）先證明∠ADB=∠ACB=90°，再根據(jù)O為AB的中點，OD=OB=

1

2

AB，得出點D在⊙O上，再根據(jù)cot∠CAB=

AC

BC

=

3

，得出∠CAB=∠BAD=30°，從而求出∠ABC=∠ABD=60°；
（2）先求出∠DBE=60°，再根據(jù)∠DEB=90°，得出∠BDE=30°，再證明△BDO是等邊三角形，得出∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，OD⊥DE，即可證出DE是以AB為直徑的圓O的切線；
（3）根據(jù)∠DAF=∠CAB，得出∠DAF=∠CAB=∠DAB，則

BC

=

BD

=

DF

，再根據(jù)CG⊥DF，AC⊥CG，得出DF∥AC，

AF

=

CD

=2

BC

，

AFB

=4

BC

，最后根據(jù)

AFB

=4

BC

=180°，

BC

=45°，求出∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°．

解答：解：（1）連結AD，
∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵O為AB的中點，
∴OD=OB=

1

2

AB，
∴點D在⊙O上，
在Rt△ACB中，AC=2

3

，BC=2，
∴cot∠CAB=

AC

BC

=

3

，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，

（2）∵∠ABC=∠ABD=60°，
∴∠DBE=60°，
∵∠DEB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵OB=OD，∠ABD=60°，
∴△BDO是等邊三角形，
∴∠BDO=60°，∠EDO=∠BDE+∠BDO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是以AB為直徑的圓O的切線；

（3）∵∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF=∠CAB=∠DAB，
∴

BC

=

BD

=

DF

，
又∵CG⊥DF，AC⊥CG，
∴DF∥AC，
∴

AF

=

CD

=2

BC

，

AFB

=4

BC

，
又∵AB是直徑，
∴

AFB

=4

BC

=180°，

BC

=45°，
∴∠CAB=22.5°，BC=AC×tan22.5°=2

3

×（

2

-1）=2

6

-2

3

．

點評：此題考查了切線的判定，用到的知識點是軸對稱、切線的判定、解直角三角形、等邊三角形等，關鍵是綜合應用有關性質(zhì)，列出算式，求出答案．