Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=kx²+2kx-3k（k＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)△ACD為直角三角形時，求k的值．
（3）過點(diǎn)F（-5，0）的直線m上有一動點(diǎn)E，當(dāng)只能畫三個以A，B，E為頂點(diǎn)的直角三角形時，求直線m的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)y=0時，得出關(guān)于x的一元二次方程，求出其解即可得出結(jié)論；
（2）討論，當(dāng)∠ADC=90°時或當(dāng)∠ACD=90°時有勾股定理建立關(guān)于k的方程求出其解即可；
（3）過點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線m交于E₁，E₂，能得到2個直角三角形，以AB為直徑作⊙G，圓心為AB中點(diǎn)G．過F點(diǎn)作⊙G的切線，切點(diǎn)是E（這樣的切線有2條）．連接EG，由△EFG～△FBE₁得出BE₁=2

3

，E₁點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2

3

），設(shè)直線m的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)y=0，則 0=kx²+2kx-3k
∵k＜0，
∴x²+2x-3=0
解得：x₁=1，x₂=-3
∴A（-3，0）、B（，0）；

（2）如圖1，由拋物線y=kx²+2kx-3k（k＜0），
∴A（-3，0），D（-1，-4k），C（0，-3k）
∴AC²=9k²+9，DC²=k²+1，AD²=16k²+4，
∵∠DAC＜90°，
∴討論∠ADC=90°和∠DCA=90°兩種情況．
當(dāng)∠ADC=90°時，AD²+CD²=AC²，16k²+4+k²+1=9k²+9
解得：k1=-

2

2

，k2=

2

2

（舍去）
當(dāng)∠ACD=90°時，AC²+CD²=AD²，9k²+9+k²+1=16k²+4
解得：k₁=-1，k₂=1（舍去）       
綜上所述：
當(dāng) k=-1或k=-

2

2

時，△ACD為直角三角形；

（3）如圖2，過點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線m交于E₁，E₂，能得到2個直角三角形，以AB為直徑作⊙G，圓心為AB中點(diǎn)G．過F點(diǎn)作⊙G的切線，切點(diǎn)是E（這樣的切線有2條）．
連接EG，
∵A（-3，0），B（1，0），∴G（-1，0），⊙G半徑EG=2．
在Rt△EFG中，又FG=4，EF=2

3

，
在Rt△FBE₂中，F(xiàn)B=6，
由△EFG～△FBE₂得，

EG

E2B

=

EF

FB

，BE₂=2

3

∴E₂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2

3

）
直線m過點(diǎn)F和點(diǎn)E₂，
設(shè)直線m的解析式為y=kx+b，由題意，得

-5k+b=0 k+b=2 3

，
解得：

k= 3 3 b= 5 3 3

所以直線m的解析式為y=

3

3

x+

5

3

3

．
同理，可以求得另一條切線的解析式為y=-

3

3

x-

5

3

3

．
綜上所述，直線m的解析式為y=

3

3

x+

5

3

3

和y=-

3

3

x-

5

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的解法的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，圓的切線的現(xiàn)在的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的餓解析式的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)是關(guān)鍵，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是難點(diǎn)．