【題目】已知二次函數(shù)(
為常數(shù)).
(1)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像與
軸總有公共點.
(2)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像的頂點都在函數(shù)
的圖像上.
(3)已知點、
,線段
與函數(shù)
的圖像有公共點,則
的取值范圍是__________.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)計算判別式的值得到△≥0,從而根據(jù)判別式的意義得到結論;
(2)利用配方法得到二次函數(shù)y=x2-2mx+2m-1的頂點坐標為(m,-(m-1)2),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷;
(3)先計算出拋物線y=-(x-1)2與直線y=-1的交點的橫坐標,然后結合圖象得到a+2≥0且a≤2.
(1)令,則
.
∵,
,
,
∴.
∵,
∴.
∴一元二次方程有實數(shù)根.
故不論取何值,函數(shù)
與
軸總有公共點.
(2)∵.
∴該函數(shù)的頂點坐標為.
把代入
,得
.
∴不論為何值,該二次函數(shù)的頂點坐標都在函數(shù)
上.
(3)當y=-1時,y=-(x-1)2=-1,解得x1=0,x2=2,
當a+2≥0且a≤2時,線段AB與函數(shù)y=-(x-1)2的圖象有公共點,
所以a的范圍為-2≤a≤2.
故答案為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在圖(1)中,在中,
,垂足為點
,點
從點
出發(fā),以
的速度沿射線
運動,當點
與點
重合時,運動停止.過點
作
,垂足為點
,將線段
繞點
順時針旋轉(zhuǎn)
,點
在射線
上的對應點為點
,連接
.若
與
的重疊部分面積為
,點
的運動時間為
,
關于
的函數(shù)圖象如圖(2)所示(其中
,
,
時,函數(shù)解析式不同).
(1)求的長;
(2)求關于
的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖,已知拋物線y=ax2﹣3x+c與y軸交于點A(0,﹣4),與x軸交于點B(4,0),點P是線段AB下方拋物線上的一個動點.
(1)求這條拋物線的表達式及其頂點的坐標;
(2)當點P移動到拋物線的什么位置時,∠PAB=90°求出此時點P的坐標;
(3)當點P從點A出發(fā),沿線段AB下方的拋物線向終點B移動,在移動中,設點P的橫坐標為t,△PAB的面積為S,求S關于t的函數(shù)表達式,并求t為何值時S有最大值,最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點.
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點 F 為 AD 上一點,AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點 F,G 均為 AD上的點,AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點,如圖,的三個頂點
,
,
均為格點,
上的點
也為格點,用無刻度的直尺作圖:
(1)將線段繞點
順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段
,寫出格點
的坐標;
(2)將線段平移至線段
,使點
與點
重合,直接寫出格點
的坐標;
(3)畫出線段關于
對稱的線段
,保留作圖痕跡.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點,點P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F,設PA=x。
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F(xiàn),E為頂點的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC的邊AB,AC的外側(cè)分別作等邊△ABD和等邊△ACE,連接DC,BE.
(1)求證:DC=BE;
(2)若BD=3,BC=4, BD⊥BC于點B,請求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把
繞點
順時針旋轉(zhuǎn)
得到
,把
繞點
逆時針旋轉(zhuǎn)
得到
,連接
.當
時,請問
邊
上的中線
與
的數(shù)量關系是什么?以下是他的研究過程:
特例驗證:(1)①如圖2,當為等邊三角形時,猜想
與
的數(shù)量關系為
_______
;②如圖3,當
,
時,則
長為________.
猜想論證:(2)在圖1中,當為任意三角形時,猜想
與
的數(shù)量關系,并給予證明.
拓展應用:(3)如圖4,在四邊形,
,
,
,
,
,在四邊形內(nèi)部是否存在點
,使
與
之間滿足小明探究的問題中的邊角關系?若存在,請畫出點
的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出
的邊
上的中線
的長度;若不存在,說明理由.
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