Question

【題目】新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意點(diǎn)，和直線，我們稱直線為點(diǎn)的伴隨直線，反之稱點(diǎn)為直線的伴隨點(diǎn)；特別的，直線（為常數(shù)）的伴隨點(diǎn)為．

如圖1，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）點(diǎn)的伴隨直線的解析式為__________．（請直接寫出答案）

（2）若直線的伴隨點(diǎn)是點(diǎn)，直線的伴隨點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的周長最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)是折線段的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），若直線是點(diǎn)的伴隨直線，當(dāng)直線與有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(，)；（3）或

【解析】

(1)直接根據(jù)伴隨點(diǎn)和伴隨直線的定義可得結(jié)論；

(2)利用待定系數(shù)法求得直線AB、BC的解析式，根據(jù)伴隨點(diǎn)和伴隨直線的定義可得D、E的坐標(biāo)，再得到點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求解；

(3)點(diǎn)P分別在線段AB→BC上討論，根據(jù)直線與△ABC恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可得的取值范圍．

(1)點(diǎn)A(，)的伴隨直線的解析式為：；

(2)設(shè)直線AB的解析式為，

把A(，)，B(，)的坐標(biāo)代入得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為，伴隨點(diǎn)D的坐標(biāo)是(，)，

設(shè)直線BC的解析式為，

把B(，)，C(，)的坐標(biāo)代入得：

，解得：，

∴直線BC的解析式為，伴隨點(diǎn)E的坐標(biāo)是(，)，

作點(diǎn)D(，)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)F，此時(shí)DF+EF的值最小，由于DE是定值，所以的周長最小，如圖：

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

設(shè)直線的解析式為，

把E (，)，(，)的坐標(biāo)代入得：

，解得：，

∴直線的解析式為，

令，則，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(，)；

(3)①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，如圖，

∵直線AB的解析式為，
∴設(shè)P(，)()，則伴隨直線的解析式為：，
把B(1，5)代入得：，解得：，

當(dāng)時(shí)，伴隨直線的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，伴隨直線的解析式為：，

∴當(dāng)，直線與△ABC恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖，

∵直線BC的解析式為，
∴設(shè)P(，)(，則伴隨直線的解析式為：，
把B(1，5)代入得：，解得：，
當(dāng)時(shí)，伴隨直線的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，伴隨直線的解析式為：，

∴當(dāng)，直線與△ABC恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；

∴；

綜上，或．