Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c的頂點在x軸上（不在原點），那么以該拋物線的頂點和與y軸的交點及原點所構(gòu)成的三角形稱為此拋物線的“坐標(biāo)軸三角形”
（1）此坐標(biāo)軸三角形是一個什么三角形？
（2）若拋物線y=x²+bx+c（b＜0）的“坐標(biāo)軸三角形”是等腰三角形，求解析式；
（3）△OAB是拋物線y=x²+mx+n的“坐標(biāo)軸三角形”，是否存在以y軸為對稱軸的等邊三角形？若存在，需將y=x²+mx+n進行怎樣的平移才能恰好經(jīng)過A、C兩點，并求平移后的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出以點O為頂點的角是直角，然后判斷即可；
（2）根據(jù)拋物線頂點在x軸上列式表示出b、c的關(guān)系，再求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點，然后根據(jù)等腰三角形兩腰相等列出方程求解即可；
（3）根據(jù)拋物線頂點在x軸上列式表示出m、n的關(guān)系，表示出拋物線與坐標(biāo)軸的交點，然后利用等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出m、n，再根據(jù)等邊三角形的對稱性解答．

解答：解：（1）∵頂點在x軸上，另一交點在y軸上，
∴以點O為頂點的角是直角，
∴坐標(biāo)軸三角形是直角三角形；

（2）∵拋物線頂點在x軸上，
∴

4×1×c-b2

4×1

=0，
∴b²=4c，
令x=0，則y=c，
拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-

b

2

，0），
∵“坐標(biāo)軸三角形”是等腰三角形，
∴-

b

2

=c，
∴b=-2c，
∴（-2c）²=4c，
解得c₁=1，c₂=0（舍去），
∴b=-2，
∴拋物線解析式為y=x²-2x+1；

（3）∵拋物線頂點在x軸上，
∴

4×1×n-m2

4×1

=0，
∴m²=4n，
令x=0，則y=n，
拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-

m

2

，0），
∵“坐標(biāo)軸三角形”是等邊三角形，
∴n=

3

•|-

m

2

|
∴|m|=

2 3

3

n，
∴（

2 3

3

n）²=4n，
解得n₁=3，c₂=0（舍去），
∴m=±2

3

，
∴拋物線解析式為y=x²+2

3

x+3或y=x²-2

3

x+3，
∵等邊三角形以y軸為對稱軸，
∴y=x²+2

3

x+3平移后的解析式為y=x²-2

3

x+3，
y=x²-2

3

x+3平移后的解析式為y=x²+2

3

x+3．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，難度不大，重在考查基礎(chǔ)知識的掌握情況．