Question

【題目】已知拋物線，其中，直線l是它的對稱軸，把該拋物線沿著x軸水平向左平移個(gè)單位長度后，與x軸交于點(diǎn)A、B，在B的左側(cè)，如圖1，P為平移后的拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)

點(diǎn)A的坐標(biāo)為______；

若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求出當(dāng)m為何值時(shí)的面積最大，并求出這個(gè)最大值；

如圖2，AP交l于點(diǎn)D，當(dāng)D為AP的中點(diǎn)時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；

【解析】

（1）設(shè)y=0，可求平移前拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求平移后點(diǎn)A坐標(biāo)；

（2）由題意可求平移后拋物線解析式，即可求點(diǎn)P坐標(biāo)，由三角形面積公式可求S△ABP（m+1）（4﹣m）（m）2，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

（3）過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，由題意可求點(diǎn)N坐標(biāo)，即可求AN=PN=m+6，可證∠PAB=45°．

（1）設(shè)y=0，則0（x+1）（x﹣m），∴x1=﹣1，x2=m，∴拋物線y（x+1）（x﹣m）與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，0），（m，0）

∵該拋物線沿著x軸水平向左平移個(gè)單位長度后，與x軸交于點(diǎn)A、B，∴點(diǎn)A（，0）

故答案為：（，0）．

（2）∵平移后解析式為：y（x+1）（x﹣m（x）（x﹣m），∴當(dāng)x時(shí)，y=4﹣m，∴S△ABP（m+1）（4﹣m）（m）2

∴當(dāng)m時(shí)，△ABP的面積最大值為；

（3）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過點(diǎn)P作PN⊥AB于點(diǎn)N，∴DM∥PN，∴，且AD=DP，∴MN=AM．

∵點(diǎn)M坐標(biāo)（，0），點(diǎn)A（，0），∴點(diǎn)N（m，0），∴AN=6+m．

當(dāng)x=m，y= =m+6，∴PN=m+6=AN，∴∠PAB=45°．