Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的動(dòng)直線EF分別交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）線段OE

 

OF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如圖2，若動(dòng)直線EF分別與AD、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F時(shí)，則（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：AF=CE．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠AEO=∠CFO，∠DEO=∠BFO，根據(jù)AAS能推出△AOE≌△COF，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即OE=OF；
（2）（1）中的結(jié)論還成立；同（1），根據(jù)AAS能推出△AOE≌△COF，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即OE=OF；
（3）如圖2，連接AF、CE．由（2）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得AE=CF，則四邊形AECF是平行四邊形，故AF=EC．

解答：（1）解：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵在△AOE和△COF中，

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
故填：=；

（2）解：（1）的結(jié)論還成立．理由如下：
如圖2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，動(dòng)直線EF分別與AD、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，
∴AD∥BC即AE∥FC，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵在△AOE和△COF中，

∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；

（3）證明：如圖，連接AF、CE．由（2）知，△AOE≌△COF，則AE=CF．
又∵AE∥FC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=EC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，平行四邊形的對(duì)角線互相平分，全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS等，本題主要考查了學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．