Question

如圖，在平面坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P（a，b）運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PMON的面積為定值2．當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)都在線段AB上時(shí)，由三條線段AE，EF，BF組成一個(gè)三角形，記此三角形的外接圓面積為S₁，△OEF的面積為S₂。試探究：是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

                                                              

Answer 1

存在。

∵四邊形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，

∴△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形。

∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，E（a，2﹣a），

∴AM=EM=2﹣a。

∴AE²=2（2﹣a）²=2a²﹣8a+8。

∵F的縱坐標(biāo)為b，F(xiàn)（2﹣b，b），

∴BN=FN=2﹣b�！郆F²=2（2﹣b）²=2b²﹣8b+8。

∵PF=PE=a+b﹣2，

∴EF²=2（a+b﹣2）²=2a²+4ab+2b²﹣8a﹣8b+8。

∵ab=2，

∴EF²=2a²+2b²﹣8a﹣8b+16。

∴EF²=AE²+BF²。

∴線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊。

∴此三角形的外接圓的面積為。

∵，

∴S₂=S_梯形OMPF﹣S_△PEF﹣S_△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM

= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）

=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。

∴。

設(shè)m=a+b﹣2，則，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為。

【考點(diǎn)】單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，偶次冪的非負(fù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用。