Question

 如圖，菱形ABCD中，邊長為2，∠B=60°，將△ACD繞點C旋轉，當AC（即A′C）與AB交于一點E，CD（即CD′）同時與AD交于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構成△AEF。試探究△AEF的周長是否存在最小值，如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值。

Answer 1

解：△AEF的周長存在最小值。理由如下：

            根據菱形和旋轉的性質，以及∠B=60°，可得△ABC，△ACD和△A′CD′是等邊三角形，

∴∠BCA=∠BCE+∠ACE=60°，∠ECF=∠ACF+∠ACE=60°�！唷螧CE=∠ACF。

在△BCE與△ACF中，BC=AC，∠EBC=∠FAC=60°，∠BCE=∠ACF，

∴△BCE≌△ACF（ASA）�！郆E=AF，CE=CF，AE+AF=AE+BE=AB。

∵∠ECF=60°，故△ECF是等邊三角形，EF=CF。

∵CF的最小值為點C到AD的距離（如圖），∴EF的最小值是。

∵△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF，∴△AEF的周長的最小值為2+。

【考點】旋轉的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，點到直線距離的性質。