Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線，與x軸的另一交點為E，連結CE。

（1）求點A、B、C、D的坐標；

（2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連結MN，當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；

（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形ABCD的面積分為2：3的兩部分，設該直線與x軸交于點P，求點P的坐標。

Answer 1

（1）在拋物線中，令，解得，∴A（2，0）。

                令，解得，∴D（0，4）。

                ∵ 的對稱軸為，點C、D關于x軸對稱，∴C（）。

                ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=5。∴B（）。

則點M的坐標為（，），即GF= MF=，BF=。

∴。

又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=。

∴BN=OB+BN=3+。

∴點N的坐標為（，0）。

（3）如圖2，過點M作直線交x軸于點P，交CD于點Q，

易求四邊形ABCD的面積為20，

設四邊形PBCQ的面積為S，點P的坐標為（a，0），則

若點P在對稱軸的左側，則FP=，，CQ=，PB=。

當S=8時，，解得。

當S=12時，，解得，小于，超出AB的范圍。

若點P在對稱軸的右側，則FP=，，CQ=，PB=。

當S=8時，，解得，與點P在對稱軸的右側不符。

當S=12時，，解得，與點P在對稱軸的右側不符。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為。

【考點】二次函數綜合題，雙動點問題，曲線上點的坐標與方程的關系，平行四邊形的性質，二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，分類思想的應用。