Question

兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重合在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠EDF=60°，AC=DF=1．如圖，固定△ABC不動(dòng)，將△DEF沿線段AB向右平移，直至D、B兩點(diǎn)重合為止．在此過程中，當(dāng)點(diǎn)D不與A、B兩點(diǎn)重合時(shí)，可作四邊形CDBF．
（1）當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBF的形狀是

 

；
（2）四邊形CDBF是否可能為直角梯形？是否可能為等腰梯形？若可能，請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出此時(shí)的平移距離；若不可能，只需作出判斷，不必說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,菱形的判定,直角梯形,平移的性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）依據(jù)平移的性質(zhì)及點(diǎn)D是AB中點(diǎn)可證到四邊形CDBF是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DC=DB，就可得到平行四邊形CDBF是菱形．
（2）①當(dāng)CD⊥AB（如圖2）及BF⊥AB（如圖3）時(shí)，四邊形CDBF是直角梯形，只需利用特殊角的三角函數(shù)值就可求出平移的距離；②運(yùn)用反證法即可證出四邊形CDBF不可能是等腰梯形．

解答：解：（1）四邊形CDBF是菱形．
證明：如圖1，

由平移的性質(zhì)可得：CF∥AD，CF=AD．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=DB．
∴CF=DB．
∵CF∥DB，CF=DB，
∴四邊形CDBF是平行四邊形．
∵∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=DB．
∴平行四邊形CDBF是菱形．
故答案為：菱形．

（2）①四邊形CDBF可能是直角梯形，
Ⅰ．當(dāng)CD⊥AB時(shí)，四邊形CDBF是直角梯形，如圖2，

∵AC=1，∠A=60°，
∴AD=AC•cosA=1×

1

2

=

1

2

．
此時(shí)平移的距離是

1

2

．
Ⅱ．當(dāng)BF⊥AB時(shí)，四邊形CDBF是直角梯形，如圖3，

∵DF=1，∠FDE=60°，
∴DB=DF•cos∠FDB=1×

1

2

=

1

2

．
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°．
∴AB=2AC=2．
∴AD=AB-DB=

3

2

．
此時(shí)平移的距離是

3

2

．
②四邊形CDBF不可能是等腰梯形．

理由如下：
假設(shè)四邊形CDBF是等腰梯形，
則有BC=DF．
由平移的性質(zhì)可得：CF∥AD，CF=AD．
∴四邊形ACFD是平行四邊形．
∴AC=DF．
∴AC=BC．
∴∠A=∠ABC=45°．
與條件“∠A=60°”矛盾，故假設(shè)不成立．
所以四邊形CDBF不可能是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題通過圖形的平移，考查了平移的性質(zhì)、菱形的判定、特殊角的三角函數(shù)值、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)，考查了分類討論、反證法等數(shù)學(xué)思想方法，考查了自主探究的能力，是一道好題．