Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，將一直角三角形的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）若∠BOC=120°．將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為

 

（直接寫出結(jié)果）；
（3）在（2）的條件下，將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：計算題

分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠RON=30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時ON平分∠AOC，據(jù)此求解；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解答：解：（1）直線ON平分∠AOC．理由如下：
設(shè)ON的反向延長線為OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=∠BON，
又∵∠AOD=∠BON，
∴∠COD=∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直線ON平分∠AOC．
（2）∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=∠COD=30°，
即旋轉(zhuǎn)60°時ON平分∠AOC，
由題意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．
即∠AOM=∠NOC+30°．

點評：此題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．