Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC，AB分別交與點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．
（1）求證：直線BD是⊙O的切線．
（2）若AD：AO=8：5，BC=12，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC，∠EDB=∠CBD=∠A，根據(jù)∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；   
（2）求出AD：AE：DE=8：10：6，求出△ADE∽△BCD，推出AD：AE：DE=BC：BD：CD=8：10：6，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A=∠CBD，
∴∠ADO=∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
即OD⊥BD，
∵OD為半徑，
∴直線BD是⊙O的切線；

（2）解：∵AD：AO=8：5，
∴AD：AE=8：10，
∴AD：AE：DE=8：10：6，
∵AE是直徑，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE：DE=BC：BD：CD=8：10：6，
即BC：BD=8：10，
∵BC=12，
∴BD=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．