Question

如圖，在平面直角坐標系中，A是拋物線上的一個動點，且點A在第一象限內．AE⊥y軸于點E，點B坐標為(O，2)，直線AB交軸于點C，點D與點C關于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結BD．設線段AE的長為m，△BED的面積為S．

（1）當時，求S的值．

（2）求S關于的函數(shù)解析式．

（3）①若S＝時，求的值；

②當m＞2時，設，猜想k與m的數(shù)量關系并證明．

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）①；②，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點在曲線上點的坐標與方程的關系，求出點A的坐標，根據(jù)△ABE∽△CBO求出CO的長，從而根據(jù)軸對稱的性質求出DO的長，進而求出△BED的面積S．

（2）分和兩種情況討論.

（3）①連接AD，由△BED的面積為求出現(xiàn)，得到點A 的坐標，應用待定系數(shù)法，設

得到，從而.

②連接AD，應用待定系數(shù)法，設得到，從而得到，因此.

得到，從而

試題解析：（1）∵點A是拋物線上的一個動點，AE⊥y軸于點E，且，

∴點A的坐標為. ∴當時，點A的坐標為.

∵點B的坐標為，∴BE=OE=1.

∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸. ∴△ABE∽△CBO.∴，即，解得.

∵點D與點C關于y軸對稱，∴.

∴.

（2）①當時，如圖，

∵點D與點C關于y軸對稱，∴△DBO≌△CBO.

∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO .∴.∴

∴.

②當時，如圖，同①可得

綜上所述，S關于的函數(shù)解析式.

（3）①如圖，連接AD，

∵△BED的面積為，∴.∴點A 的坐標為.

設，∴.

∴.

∴.

②k與m的數(shù)量關系為，證明如下：

連接AD，則

∵，∴.

∴.

∵點A 的坐標為，∴.

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.相似三角形的判定和性質；5.軸對稱的性質；6.分類思想和待定系數(shù)法的應用.