Question

（本題滿分12分）在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結(jié)CD．

（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；

（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度數(shù)．

 

Answer 1

（1）；（2）40°．

【解析】

試題分析：（1）過點O作OE⊥AC于E，根據(jù)垂徑定理可得AE=AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式計算即可得解；

（2）連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到所對的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于所對的圓周角減去所對的圓周角，計算即可得解．

試題解析：（1）如圖，過點O作OE⊥AC于E，

則AE=AC=，

∵翻折后點D與圓心O重合，∴OE=，

在Rt△AOE中，，即，解得；

（2）連接BC，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為∠B，所對的圓周角為∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．

考點：1．垂徑定理；2．含30度角的直角三角形；3．圓周角定理；4．翻折變換（折疊問題）．