【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫(xiě)出結(jié)果,不用說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)MN∥BC且MN=BC,證明詳見(jiàn)解析;(3)△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)
【解析】
(1)根據(jù)題意直接證明三個(gè)角是直角即可解決問(wèn)題;
(2)由題意可知結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.只要證明MN是△ABC的中位線即可;
(3)由題意根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可判定△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
(1)證明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=(∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)=×180°=90°,
∴三個(gè)角為直角的四邊形AECF為矩形.
(2)結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.
證明:∵四邊形AECF為矩形,
∴對(duì)角線相等且互相平分,
∴NE=NC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
又∵AN=CN(矩形的對(duì)角線相等且互相平分),
∴N是AC的中點(diǎn),
若M不是AB的中點(diǎn),則可在AB取中點(diǎn)M1,連接M1N,
則M1N是△ABC的中位線,M1N∥BC,
而MN∥BC,M1即為點(diǎn)M,
所以MN是△ABC的中位線(也可以用平行線等分線段定理,證明AM=BM)
∴MN=BC.
(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
理由:∵四邊形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥CB,
∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)上,P是BC邊上任意一點(diǎn),以A為中心,取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC,把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P',當(dāng)CP'最短時(shí),畫(huà)出點(diǎn)P',并說(shuō)明CP'最短的理由是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱(chēng)這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C、P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,∠DCE=40°,則∠P的度數(shù)為( 。
A.70°B.60°C.40°D.35°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn),且∠AGB=90°,延長(zhǎng)AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F.
①求證:BE=CF;
②求證:BE2=BCCE.
(2)如圖2,在邊BC上取一點(diǎn)E,滿足BE2=BCCE,連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,求tan∠CBF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,點(diǎn)是邊是一點(diǎn),連,過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)當(dāng),,則的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生假期的課外閱讀情況,某校隨機(jī)抽查了八年級(jí)學(xué)生閱讀課外書(shū)的冊(cè)數(shù)并作了統(tǒng)計(jì),繪制出如下統(tǒng)計(jì)圖,其中條形統(tǒng)計(jì)圖因?yàn)槠茡p丟失了閱讀5冊(cè)書(shū)的數(shù)據(jù),根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖中丟失的數(shù)據(jù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)閱讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)為______冊(cè);
(3)根據(jù)隨機(jī)抽查的這個(gè)結(jié)果,請(qǐng)估計(jì)該校1200名學(xué)生中課外書(shū)閱讀7冊(cè)書(shū)的學(xué)生人數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在菱形ABCD中,∠A=120°,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)PD的長(zhǎng)度為x,PE與PC的長(zhǎng)度和為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,其中H是圖象上的最低點(diǎn),則a+b的值為( 。
A.7B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菱形ABCD中, ,其周長(zhǎng)為32,則菱形面積為____________.
【答案】
【解析】分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=8,從而得OB=4,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得OA=4,繼而求得AC=2AO=,再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.
詳解:∵菱形ABCD中,其周長(zhǎng)為32,
∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,
∵,
∴△ABD為等邊三角形,
∴AB=BD=8,
∴OB=4,
在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,
根據(jù)勾股定理可得OA=4,
∴AC=2AO=,
∴菱形ABCD的面積為: =.
點(diǎn)睛:本題考查了菱形性質(zhì):1.菱形的四個(gè)邊都相等;2.菱形對(duì)角線相互垂直平分,并且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角;3.菱形面積公式=對(duì)角線乘積的一半.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】如圖,在△ABC中, , AC=BC=3, 將△ABC折疊,使點(diǎn)A落在BC 邊上的點(diǎn)D處,EF為折痕,若AE=2,則的值為_____________.
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