Question

 如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD與⊙O相切，BD∥AC．
（1）圖中∠OCD=

 

°，理由是

 

；
（2）⊙O的半徑為3，AC=4，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)定理，即可解答；
（2）首先證明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；

（2）連接BC．
∵BD∥AC，
∴∠CBD=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，
BC=

AB2-AC2

=

62-42

=2

5

，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，
即∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ACB，
∴△ABC∽△CDB，
∴

CD

AB

=

BC

AC

，
∴

CD

6

=

2 5

4

，
解得：CD=3

5

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，證明兩個(gè)三角形相似是本題的關(guān)鍵．