Question

如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，△ABC三邊長為整數(shù)且兩直角邊的長為關于x的一元二次方程x²-7x+（2k+8）=0的兩實數(shù)根，其中k為正整數(shù)，且AB＜BC．
（1）求△ABC的三邊長；
（2）點P從A點開始沿AB邊向點B以1個單位長/秒的速度移動，而點Q從B點開始沿BC邊向C以2個單位長/秒的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經過幾秒鐘，△PBQ的面積為△ABC面積的

1

3

？

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：（1）首先利用根的判別式求出k的取值范圍，進而分別得出符合題意的值；
（2）根據(jù)題意表示出△PBQ的面積和△ABC的面積，進而得出等式求出即可．

解答：解：（1）∵△=49-4（2k+8）＞0，
解得：k＜2

1

8

，
∵k為正整數(shù)，
∴k=1或2，
當k=1時，x²-7x+10=0，
解得：x₁=2，x₂=5，
此時AC不為整數(shù)，故舍去，
當k=2時，x²-7x+12=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
故AB=3，BC=4，則AC=5；

（2）設經過t秒鐘，△PBQ的面積為△ABC面積的

1

3

，
故2t（3-t）×

1

2

=

1

3

×

1

2

×3×4，
解得：t₁=1，t₂=2，0＜t≤2．
故t=1或2秒時，△PBQ的面積為△ABC面積的

1

3

．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意表示出三角形面積是解題關鍵．