【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,且∠B=45°,AD=DC=1,點M為邊BC上一動點,聯(lián)結(jié)AM并延長交射線DC于點F,作∠FAE=45°交射線BC于點E、交邊DCN于點N,聯(lián)結(jié)EF.
(1)當CM:CB=1:4時,求CF的長.
(2)設CM=x,CE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.
(3)當△ABM∽△EFN時,求CM的長.
【答案】(1) CF=1;(2)y=,0≤x≤1;(3)CM=2﹣.
【解析】
(1)如圖1中,作AH⊥BC于H.首先證明四邊形AHCD是正方形,求出BC、MC的長,利用平行線分線段成比例定理即可解決問題;
(2)在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=12+(1+y)2,由△EAM∽△EBA,可得,推出AE2=EMEB,由此構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可解決問題;
(3)如圖2中,作AH⊥BC于H,連接MN,在HB上取一點G,使得HG=DN,連接AG.想辦法證明CM=CN,MN=DN+HM即可解決問題;
解:(1)如圖1中,作AH⊥BC于H.
∵CD⊥BC,AD∥BC,
∴∠BCD=∠D=∠AHC=90°,
∴四邊形AHCD是矩形,
∵AD=DC=1,
∴四邊形AHCD是正方形,
∴AH=CH=CD=1,
∵∠B=45°,
∴AH=BH=1,BC=2,
∵CM=BC=,CM∥AD,
∴=,
∴=,
∴CF=1.
(2)如圖1中,在Rt△AEH中,AE2=AH2+EH2=12+(1+y)2,
∵∠AEM=∠AEB,∠EAM=∠B,
∴△EAM∽△EBA,
∴=,
∴AE2=EMEB,
∴1+(1+y)2=(x+y)(y+2),
∴y=,
∵2﹣2x≥0,
∴0≤x≤1.
(3)如圖2中,作AH⊥BC于H,連接MN,在HB上取一點G,使得HG=DN,連接AG.
則△ADN≌△AHG,△MAN≌△MAG,
∴MN=MG=HM+GH=HM+DN,
∵△ABM∽△EFN,
∴∠EFN=∠B=45°,
∴CF=CE,
∵四邊形AHCD是正方形,
∴CH=CD=AH=AD,EH=DF,∠AHE=∠D=90°,
∴△AHE≌△ADF,
∴∠AEH=∠AFD,
∵∠AEH=∠DAN,∠AFD=∠HAM,
∴∠HAM=∠DAN,
∴△ADN≌△AHM,
∴DN=HM,設DN=HM=x,則MN=2x,CN=CM=x,
∴x+x=1,
∴CM=2﹣.
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【題目】如圖,直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B,點C、D分別為線段AB、OB的中點,點P為OA上一動點,當PC+PD的值最小時,點P的坐標為( )
A.(﹣1,0)B.(﹣2,0)C.(﹣3,0)D.(﹣4,0)
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【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2;并寫出點A2、B2、C2坐標;
(3)請畫出△ABC繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A3B3C3;并寫出點A3、B3、C3坐標.
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【題目】一輛高鐵與一輛動車組列車在長為1320千米的京滬高速鐵路上運行,已知高鐵列車比動車組列車平均速度每小時快99千米,且高鐵列車比動車組列車全程運行時間少3小時,求這輛高鐵列車全程運行的時間和平均速度.
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【題目】一項工程,甲,乙兩公司合做,12天可以完成,共需付施工費102000元;如果甲,乙兩公司單獨完成此項工程,乙公司所用時間是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.
(1)甲,乙兩公司單獨完成此項工程,各需多少天?
(2)若讓一個公司單獨完成這項工程,哪個公司的施工費較少?
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【題目】如圖,點的坐標為,軸,垂足為,軸,垂足為,點分別是射線、上的動點,且點不與點、重合,.
(1)如圖1,當點在線段上時,求的周長;
(2)如圖2,當點在線段的延長線上時,設的面積為,的面積為,請猜想與之間的等量關(guān)系,并證明你的猜想.
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【題目】近年來,共享單車服務的推出(如圖1),極大的方便了城市公民綠色出行,圖2是某品牌某型號單車的車架新投放時的示意圖(車輪半徑約為30cm),其中BC∥直線l,∠BCE=71°,CE=54cm.
(1)求單車車座E到地面的高度;(結(jié)果精確到1cm)
(2)根據(jù)經(jīng)驗,當車座E到CB的距離調(diào)整至等于人體胯高(腿長)的0.85時,坐騎比較舒適.小明的胯高為70cm,現(xiàn)將車座E調(diào)整至座椅舒適高度位置E′,求EE′的長.(結(jié)果精確到0.1cm)
(參考數(shù)據(jù):sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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