【題目】閱讀下列材料,然后解決問題:和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用,截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段,或?qū)⒛硹l線段延長,使之與某特定線段相等,再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題.

(1)如圖1,在ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使 DE=AD,再連接 BE,把AB、AC、2AD集中在ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線 AD的取值范圍是_______.

問題解決:

(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,ABC+ADC=180°,E、F分別是邊BC,CD上的兩點,且EAF=BAD,求證:BE+DF=EF.

問題拓展:

(3)如圖3,在ABC中,ACB=90°,CAB=60°,點DABC 外角平分線上一點,DEAC CA延長線于點E,F(xiàn) AC上一點,且DF=DB.

求證:AC﹣AE=AF.

【答案】(1)2<AD<10;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

(1)延長 AD 到點 E 使 DEAD,連接 BE,證明ADC≌△EDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BEAC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系計算;

(2)延長 CB G,使 BGDF,證明ABG≌△ADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AGAF,GABFAD,證明AEG≌△AEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;

(3) DHAB H,在 AB 上截取 BRAF,分別證明 RtDEFRtDHB

DAF≌△DRB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明.

解:(1)延長 AD 到點E使 DE=AD,連接 BE,

ADC EDB中,

∴△ADC≌△EDB(SAS),

BE=AC=8,

AB﹣BE<AE<AB+BE,即21﹣8<2AD<12+8,

2<AD<10,

故答案為:2<AD<10;

(2)證明:延長 CB G,使 BG=DF,

∵∠ABC+ADC=180°,ABC+ABG=180°,

∴∠ADC=ABG,

ABG ADF 中,

∴△ABG≌△ADF(SAS),

AG=AF,GAB=FAD,

∵∠EAF= BAD,

∴∠FAD+BAE=GAB+BAE= BAD,

∴∠GAE=FAE,

AEG AEF 中,

∴△AEG≌△AEF(SAS),

EF=GE,

EF=BE+BG=BE+DF;

(3)證明:作 DHAB H,在 AB 上截取 BR=AF,

∵∠CAB=60°,ACB=90°,

∴∠ABC=30°,

AB=2AC,

∵點 D ABC 外角平分線上一點,DEAC,DHAB,

DE=DH,AH=AE,

RtDEF RtDHB 中,

RtDEFRtDHB(HL)

∴∠DFA=DBA,

DAF DRB 中,

∴△DAF≌△DRB(SAS)

DA=DR,

AH=HR=AE= AR,

AF=BR=AB﹣AR=2AC﹣2AE

AC﹣AE=AF.

練習(xí)冊系列答案
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(1)探究:當a=1時,

mn

m﹣n

S

m=3,n=1

3

2

m=5,n=2

10

3

當a=2時,

2mn

m﹣n

S

m=3,n=1

6

2

m=5,n=2

20

3


(2)歸納證明:對任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:
若點A、B的橫坐標分別為m、n(m>0>n),其它條件不變時,△AOB的面積S=(用a,m,n表示).

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(2) BF=,直接寫出 CE的長為_______

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A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤

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