【題目】已知拋物線的頂點坐標(biāo)為M(1,4),且經(jīng)過點N(2,3),與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C、設(shè)直線CM與x軸交于點D.
(1)求拋物線的解析式.
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,且與直線CD相切?若存在,求出P的坐標(biāo);若不存在.請說明理由.
(3)設(shè)直線y=kx+2與拋物線交于Q、R兩點,若原點O在以QR為直徑的圓外,請直接寫出k的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)滿足題意的點P存在,其坐標(biāo)為(1,﹣4+2);(3) <k<.
【解析】
(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可解答.
(2) 假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點,使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切,設(shè)P(1,u)其中u>0,得到PA2=u2+22,再利用已知條件即可解答.
(3) 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為w,得出解析式進(jìn)而求線段長度,即可解答.
(1)解:由拋物線的頂點是M(1,4),
設(shè)解析式為y=a(x﹣1)2+4(a<0),
又∵拋物線經(jīng)過點N(2,3),
∴3=a(2﹣1)2+4,解得a=﹣1.
故所求拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,
即y=﹣x2+2x+3;
(2)解:如圖:
假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點,使以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切,設(shè)P(1,u)其中u>0,
則PA是圓的半徑且PA2=u2+22,
過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切.
由題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,
由P(1,u)得PE=u,PM=|4﹣u|,PQ=PM.
由PQ2=PA2得方程:
(4﹣u)2=u2+22,
解得u=﹣4+2,u=﹣4﹣2(不符合題意,舍).
所以,滿足題意的點P存在,其坐標(biāo)為(1,﹣4+2).
(3)如圖,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為w.
由,消去y得到:x2+(k﹣2)x﹣1=0,
∴x1+x2=2﹣k,x1x2=﹣1,
∴y1+y2=k(x1+x2)+4=﹣k2+2k+4,y1y2=k2(x1x2)+2k(x1+x2)+4=﹣3k2+4k+4,
∴W(,),
PQ=
=
∵原點O在以QR為直徑的圓外,
∴2OW>PQ,
∴2>
整理得:3k2﹣4k﹣3<0,
解得<k<.
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【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果,進(jìn)價為 20 元/千克,售價不低于 20 元/千克,且不超過 32 元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量 y(千克)與該天的售價 x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量 y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價 x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價為 23.5 元/千克,求當(dāng)天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利 150 元,那么該天水果的售價為多少元?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BM是AC邊中線,點D,E分別在邊AC和BC上,DB=DE,EF⊥AC于點F,以下結(jié)論:①△BMD≌△DFE;②△NBE∽△DBC;③AC=2DF;④EFAB=CFBC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖1是某公園一塊草坪上的自動旋轉(zhuǎn)噴水裝置,這種旋轉(zhuǎn)噴水裝置的旋轉(zhuǎn)角度為240°,它的噴灌區(qū)是一個扇形.小濤同學(xué)想了解這種裝置能夠噴灌的草坪面積,他測量出了相關(guān)數(shù)據(jù),并畫出了示意圖.如圖2,A,B兩點的距離為18米,求這種裝置能夠噴灌的草坪面積.
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【題目】如圖,已知扇形AOB中,OA=3,∠AOB=120°,C是在上的動點.以BC為邊作正方形BCDE,當(dāng)點C從點A移動至點B時,點D經(jīng)過的路徑長是_____.
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【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)y=﹣2x的圖象與性質(zhì).
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y=﹣2x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小東的探究過程,請補充完整:
(1)函數(shù)y=﹣2x的自變量x的取值范圍是_______;
(2)如表是y與x的幾組對應(yīng)值
x | … | ﹣4 | ﹣3.5 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 4 | … |
y | … | ﹣ | ﹣ |
|
| 0 | ﹣ | ﹣ | m | … |
則m的值為_______;
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(4)觀察圖象,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)________.
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【題目】如圖1,菱形紙片ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,將菱形ABCD沿EF,GH折疊,使得點B,D兩點重合于對角線BD上一點P(如圖2),則六邊形AEFCHG面積的最大值是( )
A. B. C. 2﹣ D. 1+
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【題目】在正方形ABCD中,AB=6,點E在邊CD上,且CD=3DE,將△ADE沿AE對折到△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF,下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S=,其中正確的有( )個.
A.1B.2C.3D.4
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【題目】(本題滿分8分)一張長為30cm,寬20cm的矩形紙片,如圖1所示,將這張紙片的四個角各剪去一個邊長相同的正方形后,把剩余部分折成一個無蓋的長方體紙盒,如圖1所示,如果折成的長方體紙盒的底面積為264cm2,求剪掉的正方形紙片的邊長.
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