Question

如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓O切AC于點(diǎn)K，D是AC的中點(diǎn)，求證：直線DO平分線段BK．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：首先證明△ABC的內(nèi)切圓O切BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O直徑DE，連接AE，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，則BF=CD，進(jìn)而利用所證結(jié)論得出直線DO平分線段BK．

解答：證明：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓O切BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O直徑DE，連接AE，
并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，則BF=CD，令⊙O分別切AB、AC于點(diǎn)M、N，
過點(diǎn)E作GH∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)G、H，
則GH切⊙O于點(diǎn)E，
且△AGE∽△ABF，△AGH∽△ABC，
記△AGH與△ABC的周長(zhǎng)分別為：2p′，2p，
則AG+GE=AG+GM=AM=AN=AH+HN=AH+HE=p′，
于是：

p′

p

=

2p′

2p

=

AG

AB

=

GE

BF

=

AG+GE

AB+BF

=

p′

AB+BF

，
即有p=AB+BF，
故BF=p-AB=CD，
過點(diǎn)K作直徑KE，連接BE，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，由上述定理知AF=KC，
∴AC的中點(diǎn)D也是FK的中點(diǎn)，
又∵O是KE的中點(diǎn)，
∴DO∥EF，
∴直線DO平分線段BK．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)心的知識(shí)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，首先證明得出AF=KC是解題關(guān)鍵．