Question

如圖，拋物線y=x²+mx+（m-1）與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，c），且滿足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上能不能找到一點P，使∠POC=∠PCO？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，等式x₁²+x₂²+x₁x₂=7．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1．代入等式，即可求得m的值，從而求得解析式．
（2）根據(jù)線段的垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，求得P點的縱坐標，代入拋物線的解析式即可求得．

解答：解（1）依題意：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-1，
∵x₁²+x₂²+x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=7，
∴（-m）²-（m-1）=7，
即m²-m-6=0，
解得m₁=-2，m₂=3，
∵c=m-1＜0，∴m=3不合題意
∴m=-2
拋物線的解析式是y=x²-2x-3；


（2）能
如圖，設(shè)P是拋物線上的一點，連接PO，PC，過點P作y軸的垂線，垂足為D．
若∠POC=∠PCO
則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線
∵C的坐標為（0，-3）
∴D的坐標為（0，-

3

2

）
∴P的縱坐標應(yīng)是-

3

2

令x²-2x-3=-

3

2

，解得，x₁=

2- 10

2

，x₂=

2+ 10

2

因此所求點P的坐標是（

2- 10

2

，-

3

2

），（

2+ 10

2

，-

3

2

）

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識．