如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（
1
2
，
5
2
）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
專題：幾何綜合題,壓軸題
分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．
（2）要弄清PC的長(zhǎng)，實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．
（3）當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．
解答：解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（
1
2
，
5
2
）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，
∴
5
2
=(
1
2
)2a+
1
2
b+6
6=16a+4b+6
，解得
a=2
b=-8
，
∴拋物線的解析式為y=2x2-8x+6．

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，2n2-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），
=-2n2+9n-4，
=-2（n-
9
4
）2+
49
8
，
∵PC＞0，
∴當(dāng)n=
9
4
時(shí)，線段PC最大且為
49
8
．

（3）∵△PAC為直角三角形，
i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則∠APC=90°．
由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在；
ii）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則∠PAC=90°．
如答圖3-1，過(guò)點(diǎn)A（
1
2
，
5
2
）作AN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=
1
2
，AN=
5
2
．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥直線AB，交x軸于點(diǎn)M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，
∴MN=AN=
5
2
，∴OM=ON+MN=
1
2
+
5
2
=3，
∴M（3，0）．
設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，
則：
1
2
k+b=
5
2
3k+b=0
，解得
k=-1
b=3
，
∴直線AM的解析式為：y=-x+3  ①
又拋物線的解析式為：y=2x2-8x+6 ②
聯(lián)立①②式，解得：x=3或x=
1
2
（與點(diǎn)A重合，舍去）
∴C（3，0），即點(diǎn)C、M、D重合．
當(dāng)x=3時(shí)，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；

iii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則∠ACP=90°．
∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
如答圖3-2，作點(diǎn)A（
1
2
，
5
2
）關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)C，
則點(diǎn)C在拋物線上，且C（
7
2
，
5
2
）．
當(dāng)x=
7
2
時(shí)，y=x+2=
11
2
．
∴P2（
7
2
，
11
2
）．
∵點(diǎn)P1（3，5）、P2（
7
2
，
11
2
）均在線段AB上，
∴綜上所述，△PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（
7
2
，
11
2
）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

近年來(lái)，A市民用汽車擁有量持續(xù)增長(zhǎng)，2009年至2013年該市民用汽車擁有量（單位：萬(wàn)輛）依次為11，13，15，19，x．若這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為16，則x=
 
．

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如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，其中表示互為相反數(shù)的點(diǎn)是（　　）
A、點(diǎn)A與點(diǎn)D
B、點(diǎn)A與點(diǎn)C
C、點(diǎn)B與點(diǎn)D
D、點(diǎn)B與點(diǎn)C

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）解不等式：2x+3≤4x-5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；
（2）化簡(jiǎn)：
2a-4
a2-4
÷
2a
a+2
+1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線y=x2+mx+（m-1）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P，使∠POC=∠PCO？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：
4
+
3-8
+20130．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

計(jì)算：|-2|-4sin60°+(
1
3
)-1+
12
-(1-
3
)0．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某學(xué)校為加強(qiáng)學(xué)生的安全意識(shí)，組織了全校1500名學(xué)生參加安全知識(shí)競(jìng)賽，從中抽取了部分學(xué)生成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分100分）作樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，請(qǐng)根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問(wèn)題：
                      頻率分布表
分?jǐn)?shù)段 頻數(shù) 頻率
50.5-60.5 16 0.08
60.5-70.5 40 0.2
70.5-80.5 50 0.25
80.5-90.5 M 0.35
90.5-100.5 24 n
（1）這次抽取了
 
名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中：m=
 
，n=
 
．
（2）樣本中，學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)所在分?jǐn)?shù)段為
 
；
（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（4）若成績(jī)?cè)?0分在下（含70分）的學(xué)生為安全意識(shí)不強(qiáng)，有待進(jìn)一步加強(qiáng)安全教育，則該校安全意識(shí)不強(qiáng)的學(xué)生約有多少人？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC=7，則線段AO的長(zhǎng)度等于
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案