Question

【題目】實(shí)踐探究題

（1）是不為1的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是， 的差倒數(shù)是．已知， 是的差倒數(shù)， 是的差倒數(shù)， 是的差倒數(shù)，…，依此類推， 的差倒數(shù)________．

（2）觀察下列有規(guī)律的數(shù)： ， ， ， ， ， …根據(jù)規(guī)律可知：

①第10個(gè)數(shù)是________， 是第________個(gè)數(shù)．

②計(jì)算________．（直接寫出答案即可）

（3）高斯函數(shù)[x]，也稱為取整函數(shù)，即[x]表示不超過x的最大整數(shù)．

例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.

則下列結(jié)論：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③[2.5]＋[－2.5]＝－1； ④[x＋1]＋[－x＋1]的值為2.

其中正確的結(jié)論有________ (填序號(hào))．

Answer 1

【答案】（1）（2）①，17；②；（3）①③.

【解析】試題分析：（1）按照所給差倒數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，直至找出結(jié)果所隱含的規(guī)律；（2）①觀察分母可知，每個(gè)分母都可以寫成兩個(gè)因數(shù)的積，即n(n+1);②采用裂項(xiàng)相消即可；(3)根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)解答即可.

解：(1) ∵，

,

,

,

……

∴計(jì)算結(jié)果3個(gè)一循環(huán).

∵2017÷3=672…1，

∴

⑵①∵ ， ， ，

……

∴第10個(gè)數(shù)是 ，

設(shè)是第n個(gè)數(shù),由題意得

n(n+1)=306，

解之得

n1=17,n2=-18（舍去）

②原式=

⑶：①[－2.1]＋[1]＝-3+1=－2，故正確；②如x=1.5時(shí)，[x]＋[－x]＝[1.5]＋[－1.5]＝-1，故錯(cuò)誤；③[2.5]＋[－2.5]＝2+（-3）=－1，故正確； ④如x=1.5時(shí)，[x＋1]＋[－x＋1]= [1.5＋1]＋[－1.5＋1]=2+（-1）=1，故錯(cuò)誤.

∴ ①③正確.