Question

【題目】已知，拋物線y=x2+(2m－1)x－2m(－<m≤)，直線l的解析式為y=(k－1)x+2m－k+2.

(1)若拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－3，試求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)試證明：拋物線與直線l必有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x0，－4)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式x2+(2m－1)x－2m≥－4都成立； 當(dāng)k－2≤x≤k時(shí)，批物線的最小值為2k+1. 求直線l的解析式.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x－3，頂點(diǎn)(－1，－4)；（2）詳見(jiàn)解析；（3）y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2

【解析】

（1）由拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－3，求得m的值，再把拋物線的解析式進(jìn)行配方即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線與直線的方程聯(lián)立，證明其方程有兩個(gè)不同的根即△＞0即可；

（3）依題意可知y最小值=－4，求出m＝，此時(shí)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x＝－1，再分三種情況結(jié)合函數(shù)的圖象求出k的值即可得出結(jié)論.

（1）∵－2m=-3,

∴2m=3，

∴拋物線：y= x2+(2m－1)x－2m =x2+2x－3=( x +1)2－4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(－1，－4)

（2）拋物線：y=x2+(2m－1)x－2m

直線：y=(k－1)x+2m－k+2.

x2+(2m－k)x－4m+k－2=0

△=(2m－k)2－4(－4m+k－2)= (2m－k)2+16m－4k+8

＝(2m－k)2+4(2m－k)+8m+4

=(2m－k+2)2+8m+4

∵m>－， (2m－k+2)2≥0

∴△>0，拋物線與直線l必有兩個(gè)交點(diǎn).

（3）依題意可知y最小值=－4

即：=－4，m＝或m＝－

∵－<m≤

∴m＝，此時(shí)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 x＝－1

①當(dāng)k≤－1時(shí)，拋物線在k－2≤x≤k上，圖象下降，y隨x增大而減小.

此時(shí)y最小值= k2+2k－3

∴ k2+2k－3=2k+1

解得：k1＝2>－1（舍去），k2＝－2

②當(dāng)k－2<－1<k，即<－1<k <1時(shí)，拋物線在k－2≤x≤k上， y最小值=－4

∴ 2k+1=－4

∴解得：k=－<－1 (舍去)·

③當(dāng)k－2≥－1，即k≥1時(shí)，拋物線在k－2≤x≤k上，圖象上升，隨增大而增大，

此時(shí)y最小值= (k－2)2+2 (k－2)－3

(k－2)2+2 (k－2)－3=2k+1，

解得：k1＝2+2 ，k2＝2－2<1 (舍去)，

綜上所述，直線：y =－3 x +7或y =(1+2)x +3+2