Question

拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過點A、B、C，其中A（-3，0），B（1，0）． 

（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖，P為線段AC上一點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點D，交x軸于點F：
①當(dāng)△ADC的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；
②設(shè)M（m，0）是x軸上一動點，點N是線段DF上一點，當(dāng)△ADC的面積最大時，若∠MNC=90°，請求出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由y=ax²+bx-3經(jīng)過點A（-3，0），B（1，0）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令x=0，求得點C的坐標(biāo)，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時，點P的坐標(biāo)；
（3）將x=

3

2

代入拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3求出點P的縱坐標(biāo)，過點C作CG⊥DF，然后分①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標(biāo)最大，然后根據(jù)勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的最大值；②點N在線段GF上時，設(shè)GN=x，然后表示出NF，根據(jù)同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標(biāo)，求出m的最小值．

解答：解：（1）由題意得：

9a-3b-3=0 a+b-3=0

，
解得：

a=1 b=2

．
故拋物線解析式為y=x²+2x-3；

（2）令x=0，則y=-3，即C（0，-3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b′，
則

-3k+b′=0 b′=-3

，解得：

k=-1 b′=-3

，
故直線AC的解析式為y=-x-3．
設(shè)P（a，-a-3），則D（a，a²+2a-3），
∴PD=（-a-3）-（a²+2a-3）=-a²-3a，
∴S_△ADC=S_△PDC+S_△PDA=

1

2

PD•（-a）+

1

2

PD•（a+3）=

1

2

PD•3=

3

2

（-a²-3a）=-

3

2

（a+

3

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)a=-

3

2

時，△BDC的面積最大，此時P（-

3

2

，-

3

2

）；

（3）將x=-

3

2

代入y=x²+2x-3，得y=（-

3

2

）²+2×（-

3

2

）-3=-

15

4

，
∴點D的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

15

4

）．
如圖，過點C作CG⊥DF，則CG=

3

2

．
①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標(biāo)最�。�
∵∠MNC=90°，∴CD²+DM²=CM²，
∵C（0，-3），D（-

3

2

，-

15

4

），M（m，0），
∴（0+

3

2

）²+（-

15

4

+3）²+（m+

3

2

）²+（0+

15

4

）²=（m-0）²+（0+3）²，
解得m=-

27

8

．
∴點M的坐標(biāo)為（ 0，0），
即m的最小值為-

27

8

；
②點N在線段GF上時，設(shè)GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴

CG

NF

=

GN

MF

，即

3 2

3-x

=

x

MF

，
整理得，MF=-

2

3

x²+2x=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴當(dāng)x=

3

2

時（N與P重合），MF有最大值

3

2

，
此時M與O重合，
∴M的坐標(biāo)為（0，0），
∴m的最大值為0，
故實數(shù)m的變化范圍為-

27

8

≤m≤0．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．