Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A、B兩點，與y軸相交于點C(0，﹣3)，拋物線的對稱軸為直線x＝1．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，點E在拋物線上，且與點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AE交對稱軸于點F，試判斷四邊形CDEF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）四邊形EFCD是正方形，見解析

【解析】

(1)拋物線與y軸相交于點C(0，﹣3)，對稱軸為直線x=1知c=﹣3，，據此可得答案；

(2)結論四邊形EFCD是正方形．如圖1中，連接CE與DF交于點K．求出E、F、D、C四點坐標，只要證明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可證明．

(1)∵拋物線與y軸相交于點C(0，﹣3)，對稱軸為直線x=1

∴c=﹣3，，即b=﹣2，

∴二次函數解析式為；

(2)四邊形EFCD是正方形．

理由如下：

如圖，連接CE與DF交于點K．

∵，

∴頂點D(1，4)，

∵C、E關于對稱軸對稱，C(0，﹣3)，

∴E(2，﹣3)，

∵A(﹣1，0)，

設直線AE的解析式為，

則，

解得：，

∴直線AE的解析式為y=﹣x﹣1．

∴F(1，﹣2)，

∴CK=EK=1，FK=DK=1，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

又∵CE⊥DF，CE=DF，

∴四邊形EFCD是正方形．