Question

己知：如圖，△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為腰作等腰三角形△AMN，且∠AMN=∠ABC．連接CN．求證：
（1）△BAC∽△MAN；
（2）∠BAC=∠CAN；
（3）∠ABC=∠ACN．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）由BA=BC，MA=MN，可得

BA

MA

=

BC

MN

，又由∠ABC=∠AMN，可證得△BAC∽△MAN；
（2）由（1）知，∠BAC=∠MAN，則可證得∠BAC=∠CAN；
（3）易證得△BAM∽△CAN．則可得∠ABC=∠ACN．

解答：證明：（1）∵BA=BC，MA=MN，
∴

BA

MA

=

BC

MN

，
又∵∠ABC=∠AMN，
∴△BAC∽△MAN；

（2）由（1）知，∵∠BAC=∠MAN，
∴∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，
∴∠BAM=∠CAN；

（3）由（2）知∠BAM=∠CAN，
由（1）知

BA

MA

=

AC

AN

，
∴△BAM∽△CAN．
∴∠ABC=∠ACN．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．