Question

如圖，AB是半圓的直徑，E是弧BD的中點，連接AE交BD于點F，以AF為底，∠AFD為底角構造等腰△CAF，試判斷AC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：連接BE，推出∠DBE+∠EFB=90°．由E是弧BD的中點推知∠BAE=∠DBE．則易證∠CAF=∠EFB．故∠EAB+∠CAF=90°，即∠CAB=90°．根據切線的判定推出即可．

解答：解：AC與⊙O相切．
理由如下：如圖，連接BE．
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠EFB=90°．
又∵E是弧BD的中點，
∴弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE．
又∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA．
∵∠CFA=∠EFB，
∴∠CAF=∠EFB．
∴∠EAB+∠CAF=90°，即∠CAB=90°．
∴CA⊥AB，
又∵AB是直徑，
∴AC與⊙O相切．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．