Question

如圖（1），等邊三角形ABC的邊長為8，點P由點B開始沿BC以每秒1個單位長的速度作勻速運動，到點C后停止運動；點Q由點C開始沿C-A-B以每秒2個單位長的速度作勻速運動，到點B后停止運動．若點P，Q同時開始運動，運動的時間為t（秒）（t＞0）．
（1）當t=4秒時，指出點P，Q的位置．
（2）當點P、Q運動時，求△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式，并指出自變量t的取值范圍．
（3）當點Q在CA邊上運動時，是否存在某個時刻t，使得△PCQ為直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）當點Q在AB邊上運動時，是否存在某個時刻t，使得四邊形AQPC為等腰梯形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）先根據(jù)速度公式計算出當t=4秒時PB和CQ的長，然后根據(jù)等邊三角形ABC的邊長為8判斷點P，Q的位置；
（2）分兩種情況討論：當0＜t≤4時，作QD⊥BC于D，如圖1，則BP=t，PC=8-t，CQ=2t，在Rt△CDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到DC=

1

2

CQ=t，
QD=

3

CD=

3

t，然后根據(jù)三角形面積公式得到S=

1

2

QD•PC=-

3

2

t²+4

3

t；
②當4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如圖2，則BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，BQ=16-2t，在Rt△BDQ中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BD=

1

2

BQ=8-t，
QD=

3

BD=

3

（8-t），然后根據(jù)三角形面積公式得到S=

1

2

QD•PC=

3

2

t²-8

3

t+32

3

；
（3）分類討論：當∠PQC=90°時，PC=8-t，CQ=2t，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到PC=2CQ，則8-t=2•2t，然后解方程求出t；   
當∠CPQ=90°時，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CQ=2PC，則2t=2•（8-t），然后解方程求出t；   
（4）由于當PQ∥AC時，四邊形AQPC為梯形，加上∠A=∠C=60°，于是可判斷此時四邊形AQPC為等腰梯形，得到△BPQ為等邊三角形，所以BQ=BP，則16-2t=t，然后解方程求出t的值．

解答：解：（1）當t=4秒時，PB=4×1=4，CQ=4×2=8，
而等邊三角形ABC的邊長為8，
所以點P為BC邊的中點，點Q運動到點A；
（2）①當點Q在CA上運動時，即0＜t≤4時，作QD⊥BC于D，如圖1，
BP=t，PC=8-t，CQ=2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°，
在Rt△CDQ中，DC=

1

2

CQ=t，
∴QD=

3

CD=

3

t，
∴S=

1

2

QD•PC=

1

2

•

3

t•（8-t）=-

3

2

t²+4

3

t，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式為S=-

3

2

t²+4

3

t（0＜t≤4）；
②當點Q在AB上運動時，即4＜t＜8，作QD⊥BC于D，如圖2，
BP=t，PC=8-t，AQ+AC=2t，則BQ=16-2t，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDQ中，BD=

1

2

BQ=

1

2

（16-2t）=8-t，
∴QD=

3

BD=

3

（8-t），
∴S=

1

2

QD•PC=

1

2

•

3

（8-t）•（8-t）=

3

2

t²-8

3

t+32

3

，
即△PCQ的面積S與t的函數(shù)關系式為S=

3

2

t²-8

3

t+32

3

（4＜t＜8）；
（3）存在．PC=8-t，CQ=2t，
①當∠PQC=90°時，
∵∠C=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴PC=2CQ，即8-t=2•2t，解得t=1.6；   
②當∠CPQ=90°時，則CQ=2PC，即2t=2•（8-t），解得t=4；   
綜上所述，當t=1.6或4秒時，△PCQ為直角三角形；
（4）存在．
當PQ∥AC時，四邊形AQPC為梯形，
∵∠A=∠C=60°，
∴此時四邊形AQPC為等腰梯形，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴BQ=BP，即16-2t=t，解得t=

16

3

，
即當t=

16

3

秒時，四邊形AQPC為等腰梯形．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、等腰梯形的判定定理；會運用含30度的直角三角形三邊的關系和三角形面積公式進行幾何計算；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題；學會解決有關動點的問題．