Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，BD=2DC，P在AD上，∠BAC=∠BPD，求證：∠BPD=2∠CPD．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：延長(zhǎng)PD到E使PE=PB，連接BE，作AH⊥BC于H，PF⊥BE于F，CI⊥DE于I，連接HI并延長(zhǎng)交CE于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由∠BAC=∠BPE得到∠ACB=∠AEB，則根據(jù)三角形相似的判定可判斷△ADC∽△BDE，則

AD

CD

=

BD

DE

，再證明△AHD∽△CID，得到

AD

CD

=

HD

DI

，則

BD

DE

=

HD

DI

，則根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的逆定理得HI∥BE，由于BH=CH，則GC=EG，于是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得GI=EG=CG，所以∠GEI=∠GIE，加上由HI∥BE得到∠GIE=∠BEI，
所以∠BEI=∠GEI，即ED是∠BEC的平分線(xiàn)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)定理得到

CE

BE

=

CD

BD

=

1

2

，即CE=

1

2

BE，而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PF⊥EB，BP=PE得到EF=BF，∠BPF=∠EPF，所以EF=CE，則可根據(jù)“SAS”判斷△PFE≌△PCE，得到∠EPF=∠CPE，于是有∠BPD=2∠BPD．

解答：證明：延長(zhǎng)PD到E使PE=PB，連接BE，作AH⊥BC于H，PF⊥BE于F，CI⊥DE于I，連接HI并延長(zhǎng)交CE于G，如圖，
∵∠BAC=∠BPE，AB=AC，PB=PE，
∴∠ACB=∠AEB，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴

AD

CD

=

BD

DE

，
∵AH⊥BC，CI⊥AE，
∴∠AHD=∠CID，
又∵∠ADH=∠CDI，
∴△AHD∽△CID，
∴

AD

CD

=

HD

DI

，
∴

BD

DE

=

HD

DI

，
∴HI∥BE，
∵BH=CH，
∴GC=EG，
∵CI⊥EI，
∴IG為Rt△CIE斜邊上的中線(xiàn)，
∴GI=EG=CG，
∴∠GEI=∠GIE，
∵HI∥BE，
∴∠GIE=∠BEI，
∴∠BEI=∠GEI，
∴ED是∠BEC的平分線(xiàn)，
∴

CE

BE

=

CD

BD

=

1

2

，即CE=

1

2

BE，
∵PF⊥EB，BP=PE，
∴EF=BF，∠BPF=∠EPF，
∴EF=CE，
在△PEF和△PEC中，

PE=PE ∠PEF=∠PEC EF=EC

，
∴△PFE≌△PCE（SAS），
∴∠EPF=∠CPE，
∴∠BPD=2∠BPD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)定理、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的逆定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．