Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點，且PA=4，PB=2

3

，PC=2．求：
（1）∠BPC，∠APB的度數(shù)；
（2）S_△ABC．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計算題

分析：（1）作BH⊥PC于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=60°，于是可把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，連接PD，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AP=4，BD=BP=2

3

，∠PBD=60°，則可判斷△PBD為等邊三角形，所以PD=PB=2

3

，∠BPD=60°，然后利用勾股定理的逆定理可證明△PCD為直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，則CH=5；在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理計算出BC²=28，則AB²=28，在△ABP中再次利用勾股定理的逆定理可證明△APB為直角三角形，得到∠APB=90°；
（2）根據(jù)等邊三角形的面積公式求解．

解答：解：（1）作BH⊥PC于H，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，連接PD，如圖，
∴CD=AP=4，BD=BP=2

3

，∠PBD=60°，
∴△PBD為等邊三角形，
∴PD=PB=2

3

，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=2

3

，CD=4，
∴PC²+PD²=CD²，
∴△PCD為直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=2

3

，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=（

3

）²+5²=28，
∴AB²=28，
在△ABP中，∵PB²=（2

3

）²=12，AP²=4²=16，BC²=28，
∴AB²=PA²+PB²，
∴△APB為直角三角形，∠APB=90°，
即∠BPC，∠APB的度數(shù)分別為150°，90°；
（2）S_△ABC=

3

4

BC²=

3

4

×28=7

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理的逆定理．