Question

【題目】在正方形ABCD 中，點F是BC延長線上一點，過點B作BE⊥DF于點E，交CD于點G，連接CE.

（1）若正方形ABCD邊長為3，DF=4，求CG的長；

（2）求證：EF+EG=CE.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】

試題（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CBG=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△CBG和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BG=DF，再利用勾股定理列式計算即可得解；

（2）過點過點C作CM⊥CE交BE于點M，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=CF，全等三角形對應角相等可得∠F=∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG=∠ECF，然后利用“角邊角”證明△MCG和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MG=EF，CM=CE，從而判斷出△CME是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

試題解析：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，

∵BE⊥DF，

∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，

∴∠CBG=∠CDF，

在△CBG和△CDF中，

，

∴△CBG≌△CDF（ASA），

∴BG=DF=4，

∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，

∴CG=；

（2）證明：如圖，過點C作CM⊥CE交BE于點M，

∵△CBG≌△CDF，

∴CG=CF，∠F=∠CGB，

∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，

∴∠MCG=∠ECF，

在△MCG和△ECF中，

，

∴△MCG≌△ECF（SAS），

∴MG=EF，CM=CE，

∴△CME是等腰直角三角形，

∴ME=CE，

又∵ME=MG+EG=EF+EG，

∴EF+EG=CE．