【題目】(閱讀)如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,

∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分,直線lOC所成的角設為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點C落在點D處,我們把這個操作過程記為FZ[θ,a].

(理解)

若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ[45°,3];

(嘗試)

(1)若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;

(2)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形OABC的邊AB上,求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部,直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)θ =30°;(2)0<a<5時,點E落在四邊0ABC的外部.

【解析】

(1)先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD,故可得出CD=FD,即點DRt△COF斜邊CF的中點,由折疊可知,OD=OC,故OD=OC=CD,△OCD為等邊三角形,∠COD=60°,根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得出結論;(2)根據(jù)點E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l,根據(jù)由折疊可知,OD=OC=3,DE=BC=2.再由θ=45°,AB⊥直線l,得出△ADE為等腰直角三角形,故可得出OA的長,由此可得出結論.

(1)連接CD并延長,交OA延長線于點F.

△BCD△AFD中,

,

∴△BCD≌△AFD(ASA).

∴CD=FD,即點DRt△COF斜邊CF的中點,

∴OD=CF=CD.

又由折疊可知,OD=OC,

∴OD=OC=CD,

∴△OCD為等邊三角形,∠COD=60°,

∴θ=∠COD=30°;

(2)∵E四邊形OABC的邊AB上,

∴AB⊥直線l

由折疊可知,OD=OC=3,DE=BC=2.

∵θ=45°,AB⊥直線l,

∴△ADE為等腰直角三角形,

∴AD=DE=2,

∴OA=OD+AD=3+2=5,

∴a=5;

由圖可知,當0<a<5時,點E落在四邊形0ABC的外部.

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求證:DEDF

證明:∵ABAC

∴∠B=∠C   ),

DEAB,DFAC

∴∠BED=∠DFC90°

BDECDF

∴△BDE≌△CDF   ).

DEDF   

1)請在括號里寫出推理的依據(jù).

2)請你寫出另一種證明此題的方法.

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2)求證:FDBC

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(2)第510名同學中,有4名男同學(用A,B,C,D表示),現(xiàn)將這4名同學分成兩組(每組2人)進行對抗練習,求AB兩名男同學能分在同一組的概率.

組別

成績x

頻數(shù)(人數(shù))

1

50≤x<60

6

2

60≤x<70

8

3

70≤x<80

14

4

80≤x<90

a

5

90≤x<100

10

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