【題目】如圖,矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上,邊OC在y軸正半軸上,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3).矩形O′A′BC′是矩形OABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的.O′點(diǎn)恰好在x軸的正半軸上,O′C′交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)O′的坐標(biāo),并判斷△O′DB的形狀(要說明理由)
(2)求邊C′O′所在直線的解析式.
(3)延長BA到M使AM=1,在(2)中求得的直線上是否存在點(diǎn)P,使得△POM是以線段OM為直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖,連接OB,O′B,則OB=O′B,
∵四邊形OABC是矩形,
∴BA⊥OA,
∴AO=AO′,
∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3),
∴OA=1,
∴AO′=1,
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)是(2,0),
△O′DB為等腰三角形,
理由如下:在△BC′D與△O′AD中,
,
∴△BC′D≌△O′AD(AAS),
∴BD=O′D,
∴△O′DB是等腰三角形
(2)
解:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,a),則AD=a,
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,3),
∴O′D=3﹣a,
在Rt△ADO′中,AD2+AO′2=O′D2,
∴a2+12=(3﹣a)2,
解得a= ,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, ),
設(shè)直線C′O′的解析式為y=kx+b,
則 ,
解得 ,
∴邊C′O′所在直線的解析式:y=﹣ x+
(3)
解:∵AM=1,AO=1,且AM⊥AO,
∴△AOM是等腰直角三角形,
①PM是另一直角邊時(shí),∠PMA=45°,
∴PA=AM=1,點(diǎn)P與點(diǎn)O′重合,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,0),
②PO是另一直角邊,∠POA=45°,則PO所在的直線為y=x,
∴ ,
解得 ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(2,0)或( , ).
【解析】(1)連接OB,O′B,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B,再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′,然后根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出AO的長度,再得到AO′的長度,點(diǎn)O′的坐標(biāo)即可得到;利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等,然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=O′D,所以△O′DB是等腰三角形;(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,a),表示出O′D的長度,然后利用勾股定理列式求出a的值,從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式;(3)根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形,然后分①PM是另一直角邊,∠PMA=45°,②PO是另一直角邊,∠POA=45°兩種情況列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.
【考點(diǎn)精析】掌握全等三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A. 2x2x3=2x6 B. (﹣2a)3=﹣6a3 C. (a3)2=a5 D. x3÷x2=x
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在C′處,折痕為EF,若AB=1,BC=2,則△ABE和△BC′F的周長之和為( 。
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABE≌△ACD,且AB=AC.
(1)說明△ABE經(jīng)過怎樣的變換后可與△ACD重合.
(2)∠BAD與∠CAE有何關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
(3)BD與CE相等嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)D與點(diǎn)A(0,6),B(0,﹣4),C(x,y)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),其中x,y滿足x﹣y+3=0,則CD長的最小值為( )
A.
B.4
C.2
D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近幾年來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點(diǎn).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)霧霾天氣知識(shí)的了解程度,某校在學(xué)生中做了一次抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果共分為四個(gè)等級(jí):A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計(jì)圖表.
對(duì)霧霾了解程度的統(tǒng)計(jì)表:
請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調(diào)查的學(xué)生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中D部分扇形所對(duì)應(yīng)的圓心角是 度;
(3)請(qǐng)補(bǔ)全圖1示數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖;
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,學(xué)校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾知識(shí)競(jìng)賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個(gè)不透明的袋中,一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,另一人再從剩下的三個(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球.若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù),則小明去;否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹狀圖或列表法說明這個(gè)游戲規(guī)則是否公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖:∠1=∠2,∠3+∠4= 180°;確定直線a,c的位置關(guān)系,并說明理由;
解:a c;
理由:∵∠1=∠2( ),
∴ a // ( );
∵ ∠3+∠4= 180°( ),
∴ c // ( );
∵ a // ,c // ,
∴ // ( );
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