【題目】如圖,以△ABC的邊AB為直徑畫⊙O,交AC于點D,半徑OE∥BD,連接BE,DE,BD,設BE交AC于點F,若∠DEB=∠DBC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可進行判斷BC是⊙O的切線;
連接OD, 利用扇形面積ODE-△OBD=陰影部分的面積,即可求出答案.
證明:(1)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,
∴∠A=∠DBC,
∵∠DBC+∠ABD=90°,
∴BC是⊙O的切線;
(2)連接OD,
∵BF=BC=2,且∠ADB=90°,
∴∠CBD=∠FBD,
∵OE∥BD,
∴∠FBD=∠OEB,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE,
∴∠CBD=∠OEB=∠OBE=∠ADB=90°=30°,
∴∠C=60°,
∴AB=BC=2,
∴⊙O的半徑為,
∴陰影部分的面積=扇形DOB的面積﹣三角形DOB的面積=.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點C,與BA的延長線交于點D,DE⊥PO交PO延長線于點E,連接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求證:PB是⊙O的切線.
(2)若PB=3,DB=4,求DE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D,點O在AB上,以點O為圓心,OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,分別交AC,AB于點E,F(xiàn).
(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留π).
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【題目】如圖,若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC=∠PCB=∠PBA,則稱點P為△ABC的布羅卡爾點,三角形的布羅卡爾點是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn),后來被數(shù)學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名,布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn),引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,P為△ABC的布羅卡爾點,若PA=,則PB+PC=_____.
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【題目】如圖,已知PA、PB是⊙O的切線,A、B分別為切點,∠OAB=30°.
(1)∠APB=_____;
(2)當OA=2時,AP=_____.
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【題目】趙州橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉,它距今約1400年,歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙.如圖,若橋跨度AB約為40米,主拱高CD約10米,
(1)如圖1,尺規(guī)作圖,找到橋弧所在圓的圓心O(保留作圖痕跡);
(2)如圖2,求橋弧AB所在圓的半徑R.
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【題目】口袋中裝有1個紅球和2個白球,攪勻后從中摸出1個球,放回攪勻,再摸出第2個球,兩次摸球就可能出現(xiàn)3種結(jié)果:(1)都是紅球;(2)都是白球;(3)一紅一白.請你用所學的概率知識,用畫樹狀圖的方法;求每個事件發(fā)生的概率是多少?
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【題目】如圖,一架長2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上,∠C=90°,此時,梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m.
(1)求此時梯子的頂端A距地面的高度AC;
(2)如果梯子的頂端A下滑了0.9m,那么梯子的頂端B在水平方向上向右滑動了多遠?
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【題目】已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點,過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點P.
(1)當點P在線段AB上時,求證:△APQ∽△ABC;
(2)當△PQB為等腰三角形時,求AP的長.
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