【題目】 (1)如圖1,等腰RtABC中,∠CAB=90°,點HBC邊上,連AH,作等腰RtHFA,∠HFA=90°求證:AF=CF.

(2)如圖2,等腰RtABC中,∠CAB=90°,DBC上,ADAE,AD=AE,GCD中點,求證:AGBE

(3)如圖3,等腰RtABC中,∠BAC=90°,過CCDAB, CD=8,連AD,AD上取一點E使AE=AB,連BEACF,若AF=9,則AD= .

【答案】1)見解析;(2)見解析;(317.

【解析】

1)以AH為直徑作圓O,與BC交于點E,可得∠AEC=90°,由等腰三角形三線合一可知AEBC邊上的中線,所以EA=EC,再由圓周角定理推出∠AEF=AHF=45°=CEF,再次由等腰三角形三線合一可知EF垂直平分AC,即可得證;

2)延長AGN,使GN=AG,連接CN,易證△AGD≌△NGC,然后推出∠ACN=BAE,再證明△ACN≌△BAE,得到∠CAN=ABE,即可得出結(jié)論;

3)延長BE,CD交于G,易得DG=DE,設(shè)CF=a,則AC=AB=AE=AF+CF=9+a,由相似三角形對應(yīng)邊成比例,用a表示出CGDE,AD,然后用勾股定理建立方程求解.

證明:(1)如圖所示,以AH為直徑作圓O,與BC交于點E,

∴∠AEC=90°,即AEBC,

AB=AC

AEBC邊上的中線,

EA=EC

由∵∠AEF=AHF=45°

∴∠CEF=90°-45°=45°

∴∠AEF=CEF

由等腰三角形三線合一可得EF垂直平分AC,

AF=CF

2)延長AGN,使GN=AG,連接CN

GCD中點,

CG=DG

在△AGD和△NGC中,

∴△AGD≌△NGCSAS

∴∠DAG=NAD=NC,∠ADG=NCG

AE=AD

AE=NC

∵∠EAC+CAD=90°,∠BAD+CAD=90°,

∴∠EAC=BAD

∵∠ADG=BAD+ABD=BAD+45°

∴∠ACN=NCG+45°=BAD+90°

又∵∠BAE=EAC+90°

∴∠ACN=BAE

在△ACN和△BAE中,

∴△ACN≌△BAESAS

∴∠CAN=ABE

又∵∠ABE+AMB=90°

∴∠CAN+AMB=90°

AGBE

3)如圖,延長BE,CD交于G,

ABCD

∴∠ACD=BAC=90°,∠G=ABE

又∵AB=AE

∴∠ABE=AEB,

AEB=DEG

∴∠G=DEG

DG=DE

設(shè)CF=a,則AC=AB=AE=AF+CF=9+a

ABCD,

∴△ABF∽△CGF

,即

解得

DE=DG=CG-CD=

AD=AE+DE=

RtACD中,AC2+CD2=AD2

,則原方程變形為

整理得,解得x=0225

舍去負(fù)根得

AD=

故答案為:17.

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