Question

如圖，在梯形AOBC中，AO∥CB，點A、B分別在y軸和x軸上．P是OB中點，以P為圓心，PB長為半徑作半圓，D為該半圓與AC的一個公共點，且OB=CB=CD=4．
（1）試說明：AC與半圓相切于點D；
（2）求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：切線的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連接CP、DP，由AO∥CB得到CBO=90°，再證明△CDP≌△CBP，所以∠CDP=∠CBP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得AC與半圓相切于點D；
（2）作AN⊥CB于N，DM⊥OB于M，與AN交于點H，根據(jù)切線長定理得AO=AD，在Rt△ANC中，設(shè)AO=x，則AD=x，AC=4+x，CN=BC-BN=BC-OA=4-x，AN=OB=4，根據(jù)勾股定理得4²+（4-x）²=（4+x）²，解得x=1，則AD=1，再證明△ADH∽△ACN，利用相似比可計算出AH=

4

5

，DH=

3

5

，則DM=

8

5

，于是得到D點坐標(biāo)為（

4

5

，

8

5

）．

解答：解：（1）連接CP、DP，如圖，
∵AO∥CB，∠AOB=90°，
∴∠CBO=90°，
在△CDP和△CBP中

PB=PD PC=PC CD=CB

，
∴△CDP≌△CBP，
∴∠CDP=∠CBP=90°，
∴PD⊥CD，
∴AC與半圓相切于點D；
（2）作AN⊥CB于N，DM⊥OB于M，與AN交于點H，如圖，
∵∠AOB=90°，
∴AO與半圓相切．
∴AO=AD，
在Rt△ANC中，設(shè)AO=x，則AD=x，AC=4+x，CN=BC-BN=BC-OA=4-x，AN=OB=4，
∵AN²+CN²=AC²，
∴4²+（4-x）²=（4+x）²，解得x=1，
∴AD=1，
∵DM∥CB，
∴△ADH∽△ACN，
∴

AD

AC

=

AH

AN

，即

1

5

=

AH

4

AH=

4

5

，
同理得DH=

3

5

，
∴DM=

8

5

，
所以D點坐標(biāo)為（

4

5

，

8

5

）．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．