Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線（）經過點，頂點為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，先將拋物線向上平移使其頂點在原點，再將其頂點沿直線平移得到拋物線，設拋物線與直線交于、兩點，求線段的長.

（3）在圖1中將拋物線繞點旋轉后得到拋物線，直線總經過一個定點，若過定點的直線與拋物線只有一個公共點，求直線的解析式.

 

Answer 1

（1）y=x2－1；（2）CD=；（3）過定點M，共有三條直線l： x=2 或y=x+4或y=x+4+，它們分別與拋物線C3只有一個公共點

【解析】

試題分析：（1）y=x2－1

（2）可設拋物線C2的頂點為（m, m）,

依題意拋物線C2 為 ，

與直線y=x聯(lián)立解方程組得：x1=m,y1=m; x2=m+,1,y2=m+1.

即C(m, m), D(m+1, m+1 )

過點C作CH∥x軸，過點D作DN∥y軸，CH交DN于點M，

∴CM=1,DM=1, ∴CD=.

(3)依題意可求出拋物線C3的解析式為+1

直線=k(x-2)+4, ∴定點M為（2, 4）

①經過定點M，與y軸平行的直線l:x=2與拋物線C3總有一個公共點（2,1）.

②經過定點M的直線l為一次函數(shù) （k≠0）的圖象,

與+1聯(lián)立方程組，消去y得x2-4x+3+kx-2k+4=0

即x2-（4-k）x+7 -2k=0, △=k2-12=0，得k1=, k2=

∴y=x+4或y=x+4+

綜上所述，過定點M，共有三條直線l： x=2 或y=x+4或y=x+4+，它們分別與拋物線C3只有一個公共點.

考點: 拋物線的綜合運用