Question

如圖，已知直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A和點C，對稱軸為直線l：x=-1，該拋物線與x軸的另一個交點為B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的坐標；
（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線的交點式可求此拋物線的解析式；
（2）直線BC與對稱軸直線l：x=-1的交點即為所求使△PAC的周長最小的點P的坐標；
（3）討論：當以AB為對角線，利用NA=MB和四邊形ANBM為平行四邊形，則可確定M的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標；當以AB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AB=4，則可確定M的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標．

解答：解：（1）直線y=-3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，
當y=0時，-3x+3=0，解得x=1，
則A點坐標為（1，0）；
當x=0時，y=3，
則C點坐標為（0，3）；
拋物線的對稱軸為直線x=-1，
則B點坐標為（-3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
解得a=-1，
則此拋物線的解析式為y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）點A關(guān)于直線l的對稱點是點B（-3，0）
如圖1，連接BC，交對稱軸于點P，則此時△PAC周長最小，
設(shè)直線BC的關(guān)系式為：y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得

-3m+n=0 n=3

，
解得

m=1 n=3

，
∴直線bC的關(guān)系式為y=x+3，
當x=-1時，y=-1+3=2，
∴P點坐標為（-1，2）；

（3）①當以AB為對角線，如圖2，
∵四邊形AMBN為平行四邊形，
A點橫坐標為1，N點橫坐標為0，B點橫坐標為-3，
∴M點橫坐標為-2，
∴M點縱坐標為y=-4+4+3=3，
∴M點坐標為（-2，3）；

②當以AB為邊時，如圖3，
∵四邊形ABMN為平行四邊形，
∴MN=AB=4，即M₁N₁=4，M₂N₂=4，
∴M₁的橫坐標為-4，M₂的橫坐標為4，
對于y=-x²-2x+3，
當x=-4時，y=-16+8+3=-5；
當x=4時，y=-16-8+3=-21，
∴M點坐標為（-4，-5）或（4，-21）．
綜上所述，M點坐標為（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

，當a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當a＜0，y_最大值=

4ac-b2

4a

；拋物線上的點的橫縱坐標滿足拋物線的解析式；對于特殊四邊形的判定與性質(zhì)要熟練運用．