【題目】在菱形中,,點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,連接.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,連接并延長(zhǎng),分別交、于點(diǎn)、.
①求證:;②若的最小值為,直接寫出菱形的面積為 .
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②
【解析】
(1)由菱形的性質(zhì)得出BC=DC,∠BCD=120°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PC=QC,∠PCQ=120°,得出∠BCP=∠DCQ,由SAS得出△BCP≌△DCQ即可;
(2)①由全等三角形的性質(zhì)得出BP=DQ,得出∠QDC=∠PBC=∠PBM=30°,在CD上取點(diǎn)E,使QE=QN,則∠QEN=∠QNE,得出∠QED=∠QNC=∠PMB,證明△PBM≌△QDE(AAS),即可得出結(jié)論;
②由①知PM=QN,得出MN=PQ=PC,當(dāng)PC⊥BD時(shí),此時(shí)MN最小,則PC=2,BC=2PC=4,菱形ABCD的面積=2△ABC的面積,即可得出答案.
證明:(1)四邊形是菱形,
,,
,,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:,,
,
,
在和中,,
;
(2)①證明:由(1)得:,
,
.
在上取點(diǎn),使,如圖2所示:
則,
,
在和中,,
,
.
②解:由①知,
,
當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)最小,
則,,
菱形的面積.
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若拋物線(a、b、c是常數(shù), )與直線都經(jīng)過軸上的一點(diǎn)P,且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線上,則稱此直線與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系,此時(shí),直線叫做拋物線L的“帶線”,拋物線L叫做直線的“路線”.
(1)若直線與拋物線具有“一帶一路”關(guān)系,求m、n的值.
(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,它的“帶線” 的解析式為,求此路的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AC與BD交于點(diǎn)E,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F,使DF=CD,連接AF,
(1)求證:AE=CE;
(2)求證:四邊形ABDF是平行四邊形;
(3)若AB=2,AF=4,∠F=30°,則四邊形ABCF的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某養(yǎng)雞場(chǎng)有2500只雞準(zhǔn)備對(duì)外出售,從中隨機(jī)抽取了一部分雞,根據(jù)它們的質(zhì)量(單位:kg),繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)圖①中m的值為 ;
(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 kg,眾數(shù)是 kg,中位數(shù)是 kg;
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)這2500只雞中,質(zhì)量為2.0kg的約有多少只?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,定直線經(jīng)過圓心,是半徑上一動(dòng)點(diǎn),于點(diǎn),當(dāng)半徑繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),總有,若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),、兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比值是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱達(dá)到60 ℃后,再進(jìn)行操作.設(shè)該材料溫度為y(℃),從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為x(min).據(jù)了解,當(dāng)該材料加熱時(shí),溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系;停止加熱進(jìn)行操作時(shí),溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系(如圖).已知該材料在操作加熱前的溫度為15 ℃,加熱5分鐘后溫度達(dá)到60 ℃.
(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)工藝要求,當(dāng)材料的溫度低于15 ℃時(shí),須停止操作,那么從開始加熱到停止操作,共經(jīng)歷了多少時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】期中考試中,A,B,C,D,E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績(jī)有如表信息:
A | B | C | D | E | 平均分 | 中位數(shù) | |
數(shù)學(xué) | 71 | 72 | 69 | 68 | 70 |
|
|
英語 | 88 | 82 | 94 | 85 | 76 |
|
|
(1)完成表格中的數(shù)據(jù);
(2)為了比較不同學(xué)科考試成績(jī)的好與差,采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇,標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式是:標(biāo)準(zhǔn)分=(個(gè)人成績(jī)﹣平均成績(jī))÷成績(jī)方差.
從標(biāo)準(zhǔn)分看,標(biāo)準(zhǔn)分高的考試成績(jī)更好,請(qǐng)問A同學(xué)在本次考試中,數(shù)學(xué)與英語哪個(gè)學(xué)科考得更好?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y1=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)A(﹣4,﹣2),B(m,4).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)觀察圖象,寫出使得y1>y2成立的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上,頂點(diǎn)F,H在菱形ABCD的對(duì)角線BD上.
(1)求證:BG=DE;
(2)若E為AD中點(diǎn),FH=2,求菱形ABCD的周長(zhǎng).
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