【題目】某工廠準備翻建新的大門,廠門要求設(shè)計成軸對稱的拱形曲線.已知廠門的最大寬度AB=12m,最大高度OC=4m,工廠的運輸卡車的高度是3m,寬度是5.8m.現(xiàn)設(shè)計了兩種方案.方案一:建成拋物線形狀(如圖1);方案二:建成圓弧形狀(如圖2).為確保工廠的卡車在通過廠門時更安全,你認為應(yīng)采用哪種設(shè)計方案?請說明理由.

【答案】解:第一方案:設(shè)拋物線的表達式是y=a(x+6)(x6),

因C(0,4)在拋物線的圖象上,代入表達式,得a= .

故拋物線的表達式是y= x2+4.

把第一象限的點(t,3)代入函數(shù),得3= t2+4,

∴t=3,

∴當高度是3m時,最大寬度是6m.

第二方案:

由垂徑定理得:圓心O′在y軸上(原點的下方)

設(shè)圓的半徑是R,在Rt△OAO′中,由勾股定理得:62+(R4)2=R2

解得R=6.5,

當高度是3m時,最大寬度= =4 ≈6.9m

根據(jù)上面的計算得:為了工廠的特種卡車通過廠門更安全,所以采用第二種方案更合理.


【解析】方案一、根據(jù)已知中的AB的長,可得出此拋物線與x軸的兩交點A、B的坐標,設(shè)函數(shù)解析式為交點式,再將點C的坐標代入解析式,即可求出函數(shù)解析式,然后將y=3代入求出對應(yīng)的自變量的值,可得出最大寬度為6m;方案二、根據(jù)題意可知圓點在y軸的(原點)下方,連接O′A,根據(jù)垂徑定理求出OA的長,然后在Rt△OAO′中,根據(jù)勾股定理建立關(guān)于R的方程,求解得出圓的半徑長,再根據(jù)工廠的運輸卡車的高度是3m,求出最大寬度,則寬度較大的設(shè)計方案能保工廠的卡車在通過廠門時更安全。
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和垂徑定理,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題.

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【題目】1)在下面的括號內(nèi),填上推理的依據(jù).

①如圖1,,求證

證明:,

_____________

_____________

②如圖2,求證

證明:,

_____________

_____________

_____________

2)如圖,直線相交于點平分求①的度數(shù);②的度數(shù).

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(1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元?

(2)該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱,如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個,且費用不超過10000元,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少是多少元?

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(2)根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)值y為負數(shù)時,自變量x的取值范圍.

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2)在(1)的條件下.①中任意一點經(jīng)平移后對應(yīng)點,將作同樣的平移得到,請畫出,并直接寫出點的坐標;

②點軸上,且,則點的坐標為__________

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3)求出的面積.

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