Question

已知?ABCD中，AB=1，E是射線DC上一點(diǎn)，直線AC、BE交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB，PQ交直線AD于點(diǎn)Q．求：
（1）當(dāng)點(diǎn)E是DC中點(diǎn)時，求線段PQ的長度；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動時，設(shè)DE=x，PQ=y，求y關(guān)于x的解析式；
（3）當(dāng)DE的長度為多少時，

DE

PQ

=

1

2

？

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理，得到

PQ

DC

=

AP

AC

，求出

AP

AC

=

2

3

，再根據(jù)DC=1，求出PQ的長；
（2）由DE=x，則EC=1-x，根據(jù)PQ∥DC，求出

PQ

DC

=

AP

AC

，從而得到關(guān)于x、y的等式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長線上，且點(diǎn)P在線段AC的反向延長線上時，DE=x，EC=x-1，PQ=2x，根據(jù)PQ∥AB∥DE，得到

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PA

PC

=

AB

CE

=

1

x-1

，從而有

2x

2x+1

=

1

x-1

，整理得2x²-4x-1=0，求出x的值．

解答：解：（1）如圖1，
∵平行四邊形ABCD，AB=1，
∴CD=1，
∵E為CD中點(diǎn)，
∴CE=DE=

1

2

，
∵PQ∥DC，
∴

PQ

DC

=

AP

AC

，
∵

AP

PC

=2，
∴

AP

AC

=

2

3

，
∴

PQ

1

=

2

3

，
即PQ=

2

3

．
（2）由DE=x，則EC=1-x，
∵PQ∥DC，
∴

PQ

DC

=

AP

AC

，
∵

AP

CP

=

1

1-x

，
∴

AP

AC

=

1

2-x

，
∴y=

1

2-x

（0≤x≤1）．
（3）Ⅰ）點(diǎn)E在線段DC上時，根據(jù)y=

1

2-x

，又

DE

PQ

=

1

2

，
∴2x=

1

2-x

，
即2x²-4x+1=0，解得x=

2± 2

2

，
又0≤x≤1，
∴x=

2- 2

2

．
Ⅱ）如圖2，點(diǎn)E在線段DC的延長線上，且點(diǎn)P在線段AC的延長線上時，
DE=x，EC=x-1，PQ=2x，
∵PQ∥AB∥DE，
∴

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PC

PA

=

CE

AB

=

x-1

1

，
又

AC

AP

+

PC

PA

=1，即

1

2x

+x-1=1，
解得x=

2± 2

2

，又x＞1，
∴x=

2+ 2

2

．
Ⅲ）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長線上，且點(diǎn)P在線段AC的反向延長線上時，DE=x，EC=x-1，PQ=2x，
∵PQ∥AB∥DE，
∴

AC

AP

=

DC

PQ

=

1

2x

，

PA

PC

=

AB

CE

=

1

x-1

，
∴

2x

2x+1

=

1

x-1

，
∴2x²-4x-1=0，
解得x=

2± 6

2

，
又x＞1，
∴x=

2+ 6

2

，
綜上，符合條件的DE長度
可以為

2± 2

2

，

2+ 6

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了四邊形的性質(zhì)，同時涉及平行線分線段成比例定理、動點(diǎn)問題、函數(shù)、分類討論等考點(diǎn)，內(nèi)容復(fù)雜，是經(jīng)典題目．