Question

如圖，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割線PBC交⊙O于點B、C，計算

HC-HB

BC

的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連OB、OC、OA，根據(jù)切線的性質得到OA⊥PA，即∠PAO=90°，易證得Rt△PAH∽Rt△POA，則PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，由切割線定理得PA²=PB•PC，則有PH•PO=PB•PC，根據(jù)三角形相似的判定得到△PBH∽△POC，則∠PBH=∠POC，

BH

OC

=

PB

PO

，即

BH

PB

=

OC

PO

①，根據(jù)四點共圓的判定方法得到點H、B、C、O四點共圓，利用在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等得到∠HOB=∠HCB，易證得△PBO∽△PHC，于是有

OB

HC

=

PO

PC

，即

OB

PO

=

HC

PC

②，由①②得

BH

PB

=

HC

PC

，即

HC

BH

=

PC

PB

，利用比例的性質得到

HC-BH

BH

=

PC-PB

PB

=

BC

PB

，則有

HC-HB

BC

=

BH

PB

，由①得

HC-HB

BC

=

OC

PO

=

OA

OP

，在Rt△OAP中，∠APO=30°，則OP=2OA，即可得到

HC-HB

BC

的值．

解答：解：連接OB、OC、OA，如圖，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，
又∵PBC為⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，

BH

OC

=

PB

PO

，即

BH

PB

=

OC

PO

①，
∴點H、B、C、O四點共圓，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴

OB

HC

=

PO

PC

，即

OB

PO

=

HC

PC

②，
由①②得

BH

PB

=

HC

PC

，即

HC

BH

=

PC

PB

，
∴

HC-BH

BH

=

PC-PB

PB

=

BC

PB

，
∴

HC-HB

BC

=

BH

PB

，
∴

HC-HB

BC

=

OC

PO

=

OA

OP

，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，則OP=2OA，
∴

HC-HB

BC

=

1

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；四邊形的對角互補，則四點在同一個圓上；在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等；利用相似三角形的判定與性質證明比例線段，運用比例的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系進行幾何計算．