Question

【題目】如圖將矩形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中，其中AD邊在x軸上, 直線MN: y=x－8沿x軸的負(fù)方向以每秒2個(gè)單位的長度平移,設(shè)在平移過程中該直線被矩形ABCD的邊截得的線段長度為m,平移時(shí)間為t, m與t的函數(shù)圖象如圖2所示.

(1)若AB=6

①點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____________,矩形ABCD的面積為____________.

②求a, b的值;

(2)若AB=4，在平移過程中,求直線MN掃過矩形ABCD的面積 S與 t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①（2，0），48；②a=6，b=10；（2）.

【解析】

（1）①易求得M點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），根據(jù)圖2可得開始平移3秒后點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A，所以AM=6，OA=2，平移7秒后點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D，所以AD=，由此可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)和矩形ABCD的面積；②針對(duì)圖2考慮兩個(gè)極端位置，直線MN過點(diǎn)B和點(diǎn)C，然后畫出圖形，結(jié)合直線平移的速度，從而求出a和b的值；

（2）可根據(jù)題目中的圖1和圖2將平移分為四個(gè)階段，然后逐個(gè)討論這四個(gè)階段內(nèi)直線MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各階段掃過部分的圖形，然后分別求出掃過部分的面積.

解：（1）①對(duì)直線y=x﹣8，令y=0，得x﹣8=0，解得：x=8，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，0）．

根據(jù)圖2可得開始平移3秒后點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A，所以AM=6，OA=2，平移7秒后點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D，所以AD=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），矩形ABCD的面積為6×8=48；

②如下圖1所示，當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線MN交DA于點(diǎn)E．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），AB=6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，6），

設(shè)直線ME的解析式為y=x+c，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：2+c=6．∴c=4．

∴直線ME的解析式為y=x+4．

將y=0代入得：x+4=0，解得x=﹣4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣4，0）．

∴BE=．

∴a=6；

如下圖2所示，當(dāng)直線MN經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線MN交x軸于點(diǎn)F．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，6）．

設(shè)MF的解析式為y=x+d，將（﹣6，6）代入得：﹣6+d=6，解得d=12．

∴直線MF的解析式為y=x+12．

將y=0代入得x+12=0，解得x=﹣12．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣12，0）．

∴b=7+6÷2=10．

（2）結(jié)合題意中的圖1與圖2，可將直線MN的平移按照時(shí)間分為四個(gè)階段：①從初始位置平移到與A點(diǎn)相接；②直線MN與x軸的交點(diǎn)在AE之內(nèi)；③直線MN與x軸的交點(diǎn)在ED之內(nèi)；④直線MN與x軸的交點(diǎn)在DG之內(nèi)（包含點(diǎn)G），如圖所示.

當(dāng)0≤t≤3時(shí)，直線MN處于階段①，此時(shí)直線MN與矩形ABCD沒有交點(diǎn)，所以S=0；

當(dāng)3<t<5時(shí)，直線MN處于階段②，此時(shí)直線MN掃過矩形ABCD的部分為一個(gè)小等腰直角三角形，其中三角形的腰長為2t－6，所以面積為；

當(dāng)5≤t＜7時(shí)，直線MN處于階段③，此時(shí)直線MN掃過矩形ABCD的部分為一個(gè)直角梯形，上底為2t－10，下底為2t－6，高為4，所以面積為；

當(dāng)7≤t≤9時(shí)，直線MN處于階段④，此時(shí)直線MN掃過矩形ABCD的部分為矩形ABCD減去左上角的小等腰直角三角形，其中AD=BC=8，三角形腰長為8－（2t－10）=18－2t，所以面積為.

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為.