Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、DA上，AE＝2．

（1）如圖（1），當四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積．

（2）如圖（2），當四邊形EFGH為菱形，且BF＝a時，求△GFC的面積（用含a的代數(shù)式表示）．

（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．

Answer 1

（1）10   （2）12-a   （3）不能

【解析】

解：（1）過點G作GM⊥BC于M．

在正方形EFGH中，

∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°．

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠AHE＝∠BEF．

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AHE≌△BEF．

同理可證△MFG≌△BEF．

∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．

∴．

（2）過點G作GM⊥BC交BC的延長線于M，連接HF．

∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．

∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．

∴∠AHE＝∠MFG．

又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，

∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．

∴．

（3）△GFC的面積不能等于2．

說明：∵若S_△GFC＝2，則12－a＝2，∴a＝10．

此時，在△BEF中，

．

在△AHE中，

，

∴AH＞AD，即點H已經(jīng)不在邊AD上，故不可能有S_△GFC＝2．

【難度】困難