Question

如圖1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC邊上一點，以AD為邊作，使AE=AD，+=180°．

（1）直接寫出∠ADE的度數(shù)（用含的式子表示）；

（2）以AB，AE為邊作平行四邊形ABFE，

①如圖2，若點F恰好落在DE上，求證：BD=CD；

②如圖3，若點F恰好落在BC上，求證：BD=CF．

Answer 1

（1）

（2）①證明：∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AB∥EF．

∴．

由（1）知，∠ADE = ，

∴．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

②證明：

∵AB=AC，∠ABC =，

∴．

∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AE∥BF,AE=BF．

∴．

由（1）知，，

∴．

∴．

∴AD=CD．

∵AD=AE=BF，

∴BF=CD．

∴BD=CF．

【解析】

試題分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°-2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，繼而求得∠ADE的度數(shù)；

（2）①由四邊形ABFE是平行四邊形，易得∠EDC=∠ABC=α，則可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，證得AD⊥BC，又由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，即可證得結論；

②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四邊形ABFE是平行四邊形，可得AE∥BF，AE=BF．即可證得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可證得AD=CD，又由AD=AE=BF，證得結論．

試題解析：（1）∠ADE = ．

（2）①證明：∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AB∥EF．

∴．

由（1）知，∠ADE = ，

∴．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

②證明：

∵AB=AC，∠ABC =，

∴．

∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AE∥BF,AE=BF．

∴．

由（1）知，，

∴．

∴．

∴AD=CD．

∵AD=AE=BF，

∴BF=CD．

∴BD=CF．

【難度】較難